ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 882 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде многочлена:

а) \((a — b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)\);

б) \((x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)\);

в) \((x — y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 — xy + y^2)\);

г) \((a + b)^2(a^2 — ab + b^2)^2\).

а) \( (m + 1)((m^2 — m + 1) + 3) = (m + 1)(m^2 — m + 4) \)
Раскрываем скобки: \( m^3 — m^2 + 4m + m^2 — m + 4 = m^3 + 3m + 4 \).

б) \( (x + 1)(x^2 — x + 7) = (x + 1)((x^2 — x + 1) + 6) \)
Используем формулу суммы кубов: \( (x + 1)(x^2 — x + 1) = x^3 + 1 \), значит
\( x^3 + 1 + 6(x + 1) = x^3 + 6x + 7 \).

в) \( (a + b)(a^2 — 3ab + b^2) = (a + b)((a^2 — ab + b^2) — 2ab) \)
По формуле суммы кубов: \( (a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 + b^3 \), тогда
\( a^3 + b^3 — 2ab(a + b) = a^3 + b^3 — 2a^2b — 2ab^2 \).

г) \( (p — q)(p^2 + 3pq + q^2) = (p — q)((p^2 + pq + q^2) + 2pq) \)
По формуле разности кубов: \( (p — q)(p^2 + pq + q^2) = p^3 — q^3 \), значит
\( p^3 — q^3 + 2pq(p — q) = p^3 — q^3 + 2p^2q — 2pq^2 \).

а) Рассмотрим выражение \( (m + 1)((m^2 — m + 1) + 3) \). Сначала упростим внутренние скобки: \( m^2 — m + 1 + 3 = m^2 — m + 4 \). Таким образом, исходное выражение принимает вид \( (m + 1)(m^2 — m + 4) \). Следующий шаг — раскрыть скобки, используя распределительный закон умножения относительно сложения. Это значит, что нужно умножить каждый член первого множителя на каждый член второго множителя. Перемножим: \( m \cdot m^2 = m^3 \), \( m \cdot (-m) = -m^2 \), \( m \cdot 4 = 4m \), затем \( 1 \cdot m^2 = m^2 \), \( 1 \cdot (-m) = -m \), и \( 1 \cdot 4 = 4 \). Теперь сложим все полученные слагаемые: \( m^3 — m^2 + 4m + m^2 — m + 4 \). Обратите внимание, что \( -m^2 \) и \( + m^2 \) взаимно уничтожаются, поэтому остаётся \( m^3 + 3m + 4 \). Это и есть итоговое выражение после умножения.

б) Рассмотрим выражение \( (x + 1)(x^2 — x + 7) \). Для удобства перепишем второй многочлен как сумму двух частей: \( (x^2 — x + 1) + 6 \). Это позволит применить формулу суммы кубов. Тогда выражение принимает вид \( (x + 1)((x^2 — x + 1) + 6) \), что эквивалентно \( (x + 1)(x^2 — x + 1) + 6(x + 1) \). По формуле суммы кубов известно, что \( (x + 1)(x^2 — x + 1) = x^3 + 1 \). Подставляя это в выражение, получаем \( x^3 + 1 + 6x + 6 \). Теперь сгруппируем подобные члены: \( x^3 + 6x + (1 + 6) = x^3 + 6x + 7 \). Таким образом, результатом умножения является многочлен \( x^3 + 6x + 7 \).

в) Рассмотрим выражение \( (a + b)(a^2 — 3ab + b^2) \). Второй многочлен можно представить в виде \( (a^2 — ab + b^2) — 2ab \). Это разложение позволит применить формулу суммы кубов к первому слагаемому. Тогда исходное выражение становится \( (a + b)((a^2 — ab + b^2) — 2ab) \), что равно \( (a + b)(a^2 — ab + b^2) — 2ab(a + b) \). По формуле суммы кубов \( (a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 + b^3 \). Следовательно, выражение упрощается до \( a^3 + b^3 — 2ab(a + b) \). Раскроем скобки во втором слагаемом: \( -2ab \cdot a = -2a^2b \) и \( -2ab \cdot b = -2ab^2 \). В итоге получаем \( a^3 + b^3 — 2a^2b — 2ab^2 \), что и является окончательным результатом.

г) Рассмотрим выражение \( (p — q)(p^2 + 3pq + q^2) \). Второй многочлен перепишем как сумму двух частей: \( (p^2 + pq + q^2) + 2pq \). Это даст нам возможность применить формулу разности кубов. Тогда исходное выражение становится \( (p — q)((p^2 + pq + q^2) + 2pq) \), что равно \( (p — q)(p^2 + pq + q^2) + 2pq(p — q) \). По формуле разности кубов известно, что \( (p — q)(p^2 + pq + q^2) = p^3 — q^3 \). Подставляя это, получаем \( p^3 — q^3 + 2pq(p — q) \). Раскроем скобки во втором слагаемом: \( 2pq \cdot p = 2p^2q \) и \( 2pq \cdot (-q) = -2pq^2 \). В итоге итоговое выражение записывается как \( p^3 — q^3 + 2p^2q — 2pq^2 \).