ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 881 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) \(\frac{a^3 + b^3}{a + b} + ab = a^2 + b^2\);

б) \(\frac{a^3 — b^3}{a — b} + ab = (a + b)^2\).

а) Используем формулу \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Тогда
\(\frac{a^3 + b^3}{a + b} = a^2 — ab + b^2\).
Подставляем:
\(a^2 — ab + b^2 + ab = a^2 + b^2\).

б) Используем формулу \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Тогда
\(\frac{a^3 — b^3}{a — b} = a^2 + ab + b^2\).
Подставляем:
\(a^2 + ab + b^2 + ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).

а) Рассмотрим выражение \(\frac{a^3 + b^3}{a + b} + ab\). Чтобы упростить дробь, необходимо вспомнить формулу разложения суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Эта формула важна, так как она позволяет представить кубическую сумму в виде произведения двух множителей, где один из них совпадает с знаменателем дроби. Таким образом, числитель дроби можно переписать так: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).

Далее подставим это выражение в дробь: \(\frac{a^3 + b^3}{a + b} = \frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}{a + b}\). Поскольку \(a + b \neq 0\), мы можем сократить числитель и знаменатель на этот множитель, что упрощает дробь до \(a^2 — ab + b^2\). Теперь исходное выражение принимает вид \(a^2 — ab + b^2 + ab\).

Обратим внимание на два слагаемых: \(- ab\) и \(+ ab\). Они являются противоположными по знаку и одинаковыми по величине, поэтому при сложении они взаимно уничтожаются, то есть их сумма равна нулю. После этого остаётся только сумма \(a^2 + b^2\). Таким образом, мы получили равенство \(\frac{a^3 + b^3}{a + b} + ab = a^2 + b^2\), что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{a^3 — b^3}{a — b} + ab\). Для упрощения воспользуемся формулой разложения разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Эта формула позволяет представить разность кубов в виде произведения двух множителей, где один из множителей совпадает с знаменателем дроби. Таким образом, числитель можно переписать как \((a — b)(a^2 + ab + b^2)\).

Подставляем это в дробь: \(\frac{a^3 — b^3}{a — b} = \frac{(a — b)(a^2 + ab + b^2)}{a — b}\). При условии, что \(a — b \neq 0\), сокращаем числитель и знаменатель на \(a — b\), получая \(a^2 + ab + b^2\). Теперь исходное выражение принимает вид \(a^2 + ab + b^2 + ab\).

Объединим подобные слагаемые \(ab + ab = 2ab\), и получим \(a^2 + 2ab + b^2\). Известно, что квадрат суммы двух чисел равен \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Следовательно, исходное выражение равно \((a + b)^2\), что и требовалось доказать.