ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 880 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) \(\frac{a — b}{a^3 — b^3}\);

б) \(\frac{\beta^3 + \alpha^3}{2p + 2q}\);

в) \(\frac{x^3 — y^3}{x^2 — y^2}\);

г) \(\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^3 + b^3}\);

д) \(\frac{m^3 + n^3}{2(m^2 — mn + n^2)}\);

е) \(\frac{a^2 — az}{a^3 — z^3}\).

а) \( \frac{a — b}{a^3 — b^3} = \frac{a — b}{(a — b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2} \).

б) \( \frac{p^3 + q^3}{2p + 2q} = \frac{(p + q)(p^2 — pq + q^2)}{2(p + q)} = \frac{p^2 — pq + q^2}{2} \).

в) \( \frac{x^3 — y^3}{x^2 — y^2} = \frac{(x — y)(x^2 + xy + y^2)}{(x — y)(x + y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y} \).

г) \( \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^3 + b^3} = \frac{(a + b)^2}{(a + b)(a^2 — ab + b^2)} = \frac{a + b}{a^2 — ab + b^2} \).

д) \( \frac{m^3 + n^3}{2(m^2 — mn + n^2)} = \frac{(m + n)(m^2 — mn + n^2)}{2(m^2 — mn + n^2)} = \frac{m + n}{2} \).

е) \( \frac{a^2 — az}{a^3 — z^3} = \frac{a(a — z)}{(a — z)(a^2 + az + z^2)} = \frac{a}{a^2 + az + z^2} \).

а) В числителе дроби стоит выражение \(a — b\), а в знаменателе — разность кубов \(a^3 — b^3\). Известно, что разность кубов раскладывается по формуле: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Это значит, что знаменатель можно представить как произведение двух множителей: \(a — b\) и \(a^2 + ab + b^2\). Тогда дробь принимает вид \(\frac{a — b}{(a — b)(a^2 + ab + b^2)}\). Поскольку множитель \(a — b\) есть и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить (при условии, что \(a \neq b\)), и остается \(\frac{1}{a^2 + ab + b^2}\).

б) В числителе дроби стоит сумма кубов \(p^3 + q^3\), а в знаменателе — выражение \(2p + 2q\). Сумма кубов раскладывается по формуле: \(p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 — pq + q^2)\). В знаменателе можно вынести общий множитель 2: \(2p + 2q = 2(p + q)\). Таким образом, дробь переписывается как \(\frac{(p + q)(p^2 — pq + q^2)}{2(p + q)}\). Множитель \(p + q\) сокращается, и дробь упрощается до \(\frac{p^2 — pq + q^2}{2}\).

в) В числителе стоит разность кубов \(x^3 — y^3\), а в знаменателе — разность квадратов \(x^2 — y^2\). Разность кубов раскладывается как \(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), а разность квадратов — как \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Подставляя в дробь, получаем \(\frac{(x — y)(x^2 + xy + y^2)}{(x — y)(x + y)}\). Множитель \(x — y\) сокращается, и остается \(\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}\).

г) Числитель — это квадрат суммы: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\). Знаменатель — сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Подставляя в дробь, получаем \(\frac{(a + b)^2}{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}\). Множитель \(a + b\) сокращается, и результат упрощается до \(\frac{a + b}{a^2 — ab + b^2}\).

д) В числителе сумма кубов \(m^3 + n^3\), которая раскладывается как \(m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 — mn + n^2)\). Знаменатель — выражение \(2(m^2 — mn + n^2)\). Подставляем: \(\frac{(m + n)(m^2 — mn + n^2)}{2(m^2 — mn + n^2)}\). Множитель \(m^2 — mn + n^2\) сокращается, и остается \(\frac{m + n}{2}\).

е) В числителе выражение \(a^2 — az\), которое можно представить как \(a(a — z)\). В знаменателе разность кубов \(a^3 — z^3\), раскладываемая по формуле: \(a^3 — z^3 = (a — z)(a^2 + az + z^2)\). Подставляем: \(\frac{a(a — z)}{(a — z)(a^2 + az + z^2)}\). Множитель \(a — z\) сокращается, и итоговая дробь равна \(\frac{a}{a^2 + az + z^2}\).