ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 879 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \((x + y)^3 — (x — y)^3\);

б) \((a — b)^3 + (a + b)^3\);

в) \((n + 3)^3 — (n — 3)^3\);

г) \((m — 1)^3 + (m + 1)^3\).

а) \((x+y)^3-(x-y)^3 =\)
\(= ((x+y)-(x-y))((x+y)^2+(x+y)(x-y)+(x-y)^2) =\)
\(= 2y(3x^2+y^2)\)

б) \((a-b)^3+(a+b)^3 =\)
\(= ((a-b)+(a+b))((a-b)^2-(a-b)(a+b)+(a+b)^2) =\)
\(= 2a(2a^2+3b^2)\)

в) \((n+3)^3-(n-3)^3 =\)
\(= ((n+3)-(n-3))((n+3)^2+(n+3)(n-3)+(n-3)^2) =\)
\(= 6(3n^2+9) = 18(n^2+3)\)

г) \((m-1)^3+(m+1)^3 =\)
\(= ((m-1)+(m+1))((m-1)^2-(m-1)(m+1)+(m+1)^2) =\)
\(= 2m(m^2+3)\)

а) Рассмотрим выражение \((x+y)^3 — (x-y)^3\). Здесь применяем формулу разности кубов: \(A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2)\). Подставим \(A = x + y\), \(B = x — y\). Сначала вычисляем разность: \((x+y) — (x-y) = x + y — x + y = 2y\). Далее найдем сумму квадратов и произведений: \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\), \((x+y)(x-y) = x^2 — y^2\), \((x-y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). Складываем эти выражения: \(x^2 + 2xy + y^2 + x^2 — y^2 + x^2 — 2xy + y^2 = 3x^2 + y^2\). Итоговое разложение: \(2y(3x^2 + y^2)\).

б) Для выражения \((a-b)^3 + (a+b)^3\) используем формулу суммы кубов: \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2)\). Здесь \(A = a — b\), \(B = a + b\). Сначала складываем: \((a-b) + (a+b) = 2a\). Теперь вычисляем квадраты и произведения: \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), \((a-b)(a+b) = a^2 — b^2\), \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Складываем по формуле: \(a^2 — 2ab + b^2 — (a^2 — b^2) + a^2 + 2ab + b^2 = 2a^2 + 3b^2\). В итоге получаем \(2a(2a^2 + 3b^2)\).

в) В выражении \((n+3)^3 — (n-3)^3\) снова применяем формулу разности кубов. Подставляем \(A = n+3\), \(B = n-3\). Разность: \((n+3) — (n-3) = 6\). Вычисляем квадраты и произведения: \((n+3)^2 = n^2 + 6n + 9\), \((n+3)(n-3) = n^2 — 9\), \((n-3)^2 = n^2 — 6n + 9\). Складываем: \(n^2 + 6n + 9 + n^2 — 9 + n^2 — 6n + 9 = 3n^2 + 9\). Итог: \(6(3n^2 + 9) = 18(n^2 + 3)\).

г) Для \((m-1)^3 + (m+1)^3\) используем формулу суммы кубов с \(A = m-1\), \(B = m+1\). Сумма: \((m-1) + (m+1) = 2m\). Квадраты и произведения: \((m-1)^2 = m^2 — 2m + 1\), \((m-1)(m+1) = m^2 — 1\), \((m+1)^2 = m^2 + 2m + 1\). Складываем: \(m^2 — 2m + 1 — (m^2 — 1) + m^2 + 2m + 1 = m^2 + 3\). Итого: \(2m(m^2 + 3)\).