ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 878 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(x^3y^3 — 1\);

б) \(8a^3b^3 + c^3\);

в) \(1 — m^3n^3p^3\);

г) \(x^3y^3 + 8a^3z^3\).

а) \(x^3 y^3 — 1 = (xy)^3 — 1^3\).
Используем формулу разности кубов:
\(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).
Получаем:
\( (xy — 1)(x^2 y^2 + xy + 1) \).

б) \(8a^3 b^3 + c^3 = (2ab)^3 + c^3\).
Используем формулу суммы кубов:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).
Получаем:
\((2ab + c)(4a^2 b^2 — 2abc + c^2)\).

в) \(1 — m^3 n^3 p^3 = 1^3 — (mnp)^3\).
Используем формулу разности кубов:
\(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).
Получаем:
\((1 — mnp)(1 + mnp + m^2 n^2 p^2)\).

г) \(x^3 y^3 + 8 a^3 z^3 = (xy)^3 + (2az)^3\).
Используем формулу суммы кубов:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).
Получаем:
\((xy + 2az)(x^2 y^2 — 2 a x y z + 4 a^2 z^2)\).

а) Рассмотрим выражение \(x^3 y^3 — 1\). Оно представляет собой разность двух кубов, поскольку \(x^3 y^3 = (xy)^3\) и \(1 = 1^3\). Формула разности кубов гласит, что для любых выражений \(a\) и \(b\) выполняется равенство \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). В нашем случае \(a = xy\), \(b = 1\). Это значит, что исходное выражение можно разложить на произведение двух множителей: первый — это разность \(xy — 1\), а второй — сумма квадратов и произведений: \(x^2 y^2 + xy + 1\). Такое разложение не только упрощает вычисления, но и позволяет видеть структуру выражения более явно, что полезно при решении уравнений или упрощении дробей.

б) Рассмотрим выражение \(8a^3 b^3 + c^3\). Здесь можно заметить, что \(8a^3 b^3\) — это куб произведения \(2ab\), так как \(8a^3 b^3 = (2ab)^3\). Следовательно, это сумма двух кубов: \((2ab)^3 + c^3\). Для суммы кубов существует формула: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Подставляя \(a = 2ab\), \(b = c\), получаем разложение: \((2ab + c)(4a^2 b^2 — 2abc + c^2)\). Первый множитель — это сумма базовых выражений, а второй — квадрат первого выражения минус произведение первого и второго и плюс квадрат второго. Это разложение помогает упростить исходное выражение и использовать его при дальнейших преобразованиях.

в) В выражении \(1 — m^3 n^3 p^3\) можно видеть разность кубов, так как \(1 = 1^3\), а \(m^3 n^3 p^3 = (mnp)^3\). Формула разности кубов \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\) применима, если положить \(a = 1\), \(b = mnp\). Тогда разложение принимает вид: \((1 — mnp)(1 + mnp + m^2 n^2 p^2)\). Первый множитель — это разность базовых выражений, а второй — сумма квадратов и произведений, что расширяет возможности для упрощения и решения задач с такими выражениями. Это разложение часто используется при решении уравнений и в алгебраических преобразованиях.

г) Выражение \(x^3 y^3 + 8 a^3 z^3\) является суммой кубов, поскольку \(x^3 y^3 = (xy)^3\) и \(8 a^3 z^3 = (2az)^3\). Формула суммы кубов \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\) позволяет разложить это выражение на два множителя. Подставляя \(a = xy\), \(b = 2az\), получаем: \((xy + 2az)(x^2 y^2 — 2 a x y z + 4 a^2 z^2)\). Первый множитель — это сумма исходных выражений, а второй — квадрат первого выражения минус произведение первого и второго и плюс квадрат второго. Такое разложение удобно для упрощения выражений и решения задач, связанных с кубическими степенями.