ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 877 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \((a — b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)(a^2 — ab + b^2)\);

б) \((x + 2)(x^2 — 2x + 4) — (x — 2)(x^2 + 2x + 4)\);

в) \(y(y — 1)(y + 1) — (y — 3)(y^2 + 3y + 9)\);

г) \(x(x + 3)^2 — (x + 2)(x^2 — 2x + 4) — 2(x — 2)(3x + 2)\).

а) Раскроем по формуле разности кубов и суммы кубов:
\((a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 — b^3\),
\((a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 + b^3\).
Складываем: \(a^3 — b^3 + a^3 + b^3 = 2a^3\).

б) Раскроем скобки:
\((x + 2)(x^2 — 2x + 4) = x^3 + 8\),
\((x — 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 — 8\).
Вычитаем: \(x^3 + 8 — (x^3 — 8) = 16\).

в) Преобразуем:
\(y(y — 1)(y + 1) = y(y^2 — 1) = y^3 — y\),
\((y — 3)(y^2 + 3y + 9) = y^3 — 27\).
Вычитаем: \(y^3 — y — (y^3 — 27) = 27 — y\).

г) Раскроем и упростим:
\(x(x + 3)^2 = x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x\),
\((x + 2)(x^2 — 2x + 4) = x^3 + 8\),
\(2(x — 2)(3x + 2) = 2(3x^2 — 4x — 4) = 6x^2 — 8x — 8\).
Подставляем и упрощаем:
\(x^3 + 6x^2 + 9x — (x^3 + 8) — (6x^2 — 8x — 8) = 17x\).

а) Рассмотрим выражение \((a — b)(a^{2} + ab + b^{2}) + (a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\). Первое произведение — это классическая формула разности кубов, которая равна \(a^{3} — b^{3}\). Это можно проверить, раскрывая скобки: \(a \cdot a^{2} = a^{3}\), \(a \cdot ab = a^{2}b\), \(a \cdot b^{2} = ab^{2}\), затем вычитаем соответствующие члены с минусом \(b\), и в итоге все члены, кроме \(a^{3}\) и \(- b^{3}\), взаимно сокращаются.

Второе произведение \((a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\) — это формула суммы кубов, равная \(a^{3} + b^{3}\). Аналогично, раскрывая скобки, мы получаем \(a^{3} + b^{3}\) после сокращения внутренних членов. Складывая два результата, получаем \(a^{3} — b^{3} + a^{3} + b^{3}\), где \(- b^{3}\) и \(+ b^{3}\) взаимно уничтожаются, и итогом становится \(2a^{3}\).

Таким образом, итоговое выражение упрощается до \(2a^{3}\), что и является ответом. Этот результат основан на классических формулах разности и суммы кубов, которые часто применяются для упрощения подобных выражений.

б) Выражение \((x + 2)(x^{2} — 2x + 4) — (x — 2)(x^{2} + 2x + 4)\) можно упростить, раскрыв каждое произведение отдельно. Раскрывая первое, получаем \(x \cdot x^{2} = x^{3}\), \(x \cdot (-2x) = -2x^{2}\), \(x \cdot 4 = 4x\), \(2 \cdot x^{2} = 2x^{2}\), \(2 \cdot (-2x) = -4x\), \(2 \cdot 4 = 8\). Складывая, \(x^{3} — 2x^{2} + 4x + 2x^{2} — 4x + 8\), внутренние члены \( — 2x^{2} \) и \( + 2x^{2} \), а также \(4x\) и \(-4x\) сокращаются, остаётся \(x^{3} + 8\).

Второе произведение раскрываем аналогично: \(x \cdot x^{2} = x^{3}\), \(x \cdot 2x = 2x^{2}\), \(x \cdot 4 = 4x\), \(-2 \cdot x^{2} = -2x^{2}\), \(-2 \cdot 2x = -4x\), \(-2 \cdot 4 = -8\). Складывая, получаем \(x^{3} + 2x^{2} + 4x — 2x^{2} — 4x — 8\), где \(2x^{2}\) и \(-2x^{2}\), \(4x\) и \(-4x\) сокращаются, остаётся \(x^{3} — 8\).

Теперь вычитаем: \((x^{3} + 8) — (x^{3} — 8) = x^{3} + 8 — x^{3} + 8 = 16\).

в) В выражении \(y(y — 1)(y + 1) — (y — 3)(y^{2} + 3y + 9)\) сначала упростим каждую часть. Произведение \(y(y — 1)(y + 1)\) раскрывается как \(y(y^{2} — 1) = y^{3} — y\), так как \((y — 1)(y + 1) = y^{2} — 1\).

Вторая часть \((y — 3)(y^{2} + 3y + 9)\) — это формула разности кубов, равная \(y^{3} — 27\). Если раскрыть, то \(y \cdot y^{2} = y^{3}\), \(y \cdot 3y = 3y^{2}\), \(y \cdot 9 = 9y\), \(-3 \cdot y^{2} = -3y^{2}\), \(-3 \cdot 3y = -9y\), \(-3 \cdot 9 = -27\). Складывая, \(y^{3} + 3y^{2} + 9y — 3y^{2} — 9y — 27\), внутренние члены сокращаются, остаётся \(y^{3} — 27\).

Вычитая второе из первого, получаем \((y^{3} — y) — (y^{3} — 27) = y^{3} — y — y^{3} + 27 = 27 — y\).

г) Для выражения \(x(x + 3)^{2} — (x + 2)(x^{2} — 2x + 4) — 2(x — 2)(3x + 2)\) сначала раскроем квадрат: \((x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9\). Тогда \(x(x + 3)^{2} = x(x^{2} + 6x + 9) = x^{3} + 6x^{2} + 9x\).

Далее раскроем второе произведение: \((x + 2)(x^{2} — 2x + 4) = x^{3} — 2x^{2} + 4x + 2x^{2} — 4x + 8\). Внутренние члены \(- 2x^{2}\) и \(+ 2x^{2}\), \(4x\) и \(- 4x\) сокращаются, остаётся \(x^{3} + 8\).

Последнее произведение: \((x — 2)(3x + 2) = 3x^{2} + 2x — 6x — 4 = 3x^{2} — 4x — 4\). Умножаем на 2: \(2(3x^{2} — 4x — 4) = 6x^{2} — 8x — 8\).

Подставляем все в исходное выражение:
\(x^{3} + 6x^{2} + 9x — (x^{3} + 8) — (6x^{2} — 8x — 8)\). Раскрываем скобки:
\(x^{3} + 6x^{2} + 9x — x^{3} — 8 — 6x^{2} + 8x + 8\).

Складываем подобные члены: \(x^{3} — x^{3} = 0\), \(6x^{2} — 6x^{2} = 0\), \(9x + 8x = 17x\), \(-8 + 8 = 0\). Итог: \(17x\).