ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 876 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

РАССУЖДАЕМ. Составьте выражения, которые можно разложить на множители с помощью формул суммы кубов или разности кубов, и выполните эти преобразования.

а) \(a^3 — 125b^3 = (a — 5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)\)
Разложили по формуле разности кубов, так как \(125b^3 = (5b)^3\).

б) \(27x^3 — 8y^3 = (3x — 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2)\)
Использовали формулу разности кубов, \(27x^3 = (3x)^3\), \(8y^3 = (2y)^3\).

в) \(a^3 + \frac{1}{27}b^3 = \left(a + \frac{1}{3}b\right)\left(a^2 — \frac{1}{3}ab + \frac{1}{9}b^2\right)\)
Применили формулу суммы кубов, так как \(\frac{1}{27}b^3 = \left(\frac{1}{3}b\right)^3\).

г) \(64x^3 + \frac{1}{64}y^3 = \left(4x + \frac{1}{4}y\right)\left(16x^2 — xy + \frac{1}{16}y^2\right)\)
Использовали формулу суммы кубов, \(64x^3 = (4x)^3\), \(\frac{1}{64}y^3 = \left(\frac{1}{4}y\right)^3\).

а) Выражение \(a^3 — 125b^3\) является разностью кубов, потому что \(125b^3 = (5b)^3\). Для разложения на множители используем формулу разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Здесь \(a\) остаётся без изменений, а \(b\) подставляем как \(5b\). Тогда первое множитель будет \(a — 5b\), а второй — квадрат первого слагаемого \(a^2\), плюс произведение \(a \cdot 5b = 5ab\), и квадрат второго слагаемого \(25b^2\). В итоге получаем: \(a^3 — 125b^3 = (a — 5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)\).

б) В выражении \(27x^3 — 8y^3\) также видна разность кубов, так как \(27x^3 = (3x)^3\) и \(8y^3 = (2y)^3\). Используем ту же формулу разности кубов. Первый множитель — разность между \(3x\) и \(2y\), то есть \(3x — 2y\). Второй множитель составляем из квадрата первого слагаемого \(9x^2\), плюс произведения \(3x \cdot 2y = 6xy\), и квадрата второго слагаемого \(4y^2\). Итог: \(27x^3 — 8y^3 = (3x — 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2)\).

в) Выражение \(a^3 + \frac{1}{27}b^3\) — это сумма кубов, так как \(\frac{1}{27}b^3 = \left(\frac{1}{3}b\right)^3\). Для суммы кубов применяется формула: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Здесь первый множитель — сумма \(a + \frac{1}{3}b\). Второй множитель — квадрат первого слагаемого \(a^2\), минус произведение \(a \cdot \frac{1}{3}b = \frac{1}{3}ab\), плюс квадрат второго слагаемого \(\frac{1}{9}b^2\). Получаем: \(a^3 + \frac{1}{27}b^3 = \left(a + \frac{1}{3}b\right)\left(a^2 — \frac{1}{3}ab + \frac{1}{9}b^2\right)\).

г) В выражении \(64x^3 + \frac{1}{64}y^3\) также сумма кубов, так как \(64x^3 = (4x)^3\) и \(\frac{1}{64}y^3 = \left(\frac{1}{4}y\right)^3\). Снова применяем формулу суммы кубов. Первый множитель — сумма \(4x + \frac{1}{4}y\). Второй множитель составляем из квадрата первого слагаемого \(16x^2\), минус произведение \(4x \cdot \frac{1}{4}y = xy\), плюс квадрат второго слагаемого \(\frac{1}{16}y^2\). Итоговое разложение: \(64x^3 + \frac{1}{64}y^3 = \left(4x + \frac{1}{4}y\right)\left(16x^2 — xy + \frac{1}{16}y^2\right)\).