ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 875 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Примените для разложения на множители, если это возможно, формулу суммы или разности кубов:

а) \(8x^8 + y^3\);

б) \(9a^3 + b^3\);

в) \(1 — 27a^3\);

г) \(8m^3 — 64n^3\);

д) \(x^6 — \frac{1}{8}z^2\);

е) \(\frac{1}{8}t^3 + 8s^3\).

а) \(8x^3 + y^3 = (2x)^3 + y^3 = (2x + y)(4x^2 — 2xy + y^2)\).

б) \(9a^3 + b^3\) — не подходит формула суммы кубов, так как \(9a^3\) не является кубом рационального числа.

в) \(1 — 27a^3 = 1^3 — (3a)^3 = (1 — 3a)(1 + 3a + 9a^2)\).

г) \(8m^3 — 64n^3 = (2m)^3 — (4n)^3 = (2m — 4n)(4m^2 + 8mn + 16n^2)\).

д) \(x^6 — \frac{1}{8}z^2\) — не подходит формула разности кубов, так как \(\frac{1}{8}z^2\) не является кубом.

е) \(\frac{1}{8}t^3 + 8s^3 = \left(\frac{t}{2}\right)^3 + (2s)^3 = \left(\frac{t}{2} + 2s\right)\left(\frac{t^2}{4} — ts + 4s^2\right)\).

а) Выражение \(8x^3 + y^3\) можно представить как сумму кубов, поскольку \(8x^3 = (2x)^3\). Это позволяет применить формулу суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Здесь \(a = 2x\), \(b = y\). Подставляя, получаем разложение \( (2x + y)(4x^2 — 2xy + y^2) \). Такое разложение позволяет выразить исходный многочлен через произведение двух множителей.

б) В выражении \(9a^3 + b^3\) формула суммы кубов не подходит, потому что \(9a^3\) не является кубом рационального числа. Для применения формулы необходимо, чтобы оба слагаемых были кубами выражений вида \(a^3\) и \(b^3\), где \(a\) и \(b\) — выражения с целыми или рациональными коэффициентами. Здесь \(9a^3 = ( \sqrt[3]{9} \cdot a )^3\), но \(\sqrt[3]{9}\) — иррациональное число, поэтому стандартная формула не применяется.

в) В выражении \(1 — 27a^3\) можно выделить разность кубов, так как \(1 = 1^3\), а \(27a^3 = (3a)^3\). Формула разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a = 1\), \(b = 3a\). Подставляя, получаем разложение \( (1 — 3a)(1 + 3a + 9a^2) \). Это разложение позволяет упростить выражение и использовать в дальнейших вычислениях.

г) В выражении \(8m^3 — 64n^3\) также применяется формула разности кубов. Здесь \(8m^3 = (2m)^3\), а \(64n^3 = (4n)^3\). Применяя формулу, получаем \( (2m — 4n)(4m^2 + 8mn + 16n^2) \). Такое разложение помогает представить исходный многочлен в виде произведения, что полезно для решения уравнений и упрощения выражений.

д) Выражение \(x^6 — \frac{1}{8}z^2\) не подходит для разложения по формуле разности кубов, так как \(\frac{1}{8}z^2\) не является кубом какого-либо выражения с целыми или рациональными степенями. Для применения формулы необходимо, чтобы обе части были кубами, то есть имели вид \(a^3\) и \(b^3\). Здесь степень переменной \(z\) не кратна трем, поэтому разложение невозможно.

е) В выражении \(\frac{1}{8}t^3 + 8s^3\) оба слагаемых можно представить как кубы: \(\frac{1}{8}t^3 = \left(\frac{t}{2}\right)^3\), \(8s^3 = (2s)^3\). Применяя формулу суммы кубов, получаем разложение \( \left(\frac{t}{2} + 2s\right)\left(\frac{t^2}{4} — ts + 4s^2\right) \). Это разложение облегчает работу с многочленом, позволяя преобразовывать и упрощать выражения.