ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 874 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(p^3 — q^3\);

б) \(a^3 — 8\);

в) \(1 — x^3\);

г) \(-x^3 + y^3\);

д) \(b^3 — \frac{1}{125}\);

е) \(\frac{1}{27} — t^3\).

а) Используем формулу разности кубов: \(p^3 — q^3 = (p — q)(p^2 + pq + q^2)\).

б) Представляем 8 как \(2^3\) и применяем формулу разности кубов: \(a^3 — 2^3 = (a — 2)(a^2 + 2a + 4)\).

в) Представляем 1 как \(1^3\) и раскладываем: \(1 — x^3 = (1 — x)(1 + x + x^2)\).

г) Переписываем и раскладываем разность кубов: \(-x^3 + y^3 = y^3 — x^3 = (y — x)(y^2 + xy + x^2)\).

д) Представляем \(\frac{1}{125}\) как \(\left(\frac{1}{5}\right)^3\) и раскладываем:
\(b^3 — \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \left(b — \frac{1}{5}\right)\left(b^2 + \frac{1}{5}b + \frac{1}{25}\right)\).

е) Представляем \(\frac{1}{27}\) как \(\left(\frac{1}{3}\right)^3\) и раскладываем:
\(\frac{1}{27} — t^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 — t^3 = \left(\frac{1}{3} — t\right)\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + t^2\right)\).

а) Выражение \(p^3 — q^3\) представляет собой разность двух кубов. Для её разложения на множители используется формула разности кубов, которая гласит, что разность кубов равна произведению разности оснований и суммы квадратов, произведения и квадрата второго основания: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Здесь \(a = p\), \(b = q\), поэтому применяем эту формулу напрямую. Сначала выделяем множитель \(p — q\), а затем умножаем на выражение \(p^2 + pq + q^2\), которое является суммой квадратов и произведения переменных.

б) В выражении \(a^3 — 8\) число 8 можно представить как куб числа 2, то есть \(8 = 2^3\). Значит, это также разность кубов. Применяем ту же формулу разности кубов, где \(a = a\), а \(b = 2\). Получаем разложение \(a^3 — 2^3 = (a — 2)(a^2 + 2a + 4)\). Вторая скобка — это сумма квадрата первого слагаемого \(a^2\), произведения \(2a\) и квадрата второго слагаемого \(4\).

в) В выражении \(1 — x^3\) число 1 можно рассматривать как куб единицы, \(1 = 1^3\). Это позволяет применить формулу разности кубов с \(a = 1\) и \(b = x\). Разложение будет выглядеть как \(1^3 — x^3 = (1 — x)(1 + x + x^2)\). Здесь первая скобка — разность оснований, а вторая — сумма квадрата первого, произведения и квадрата второго.

г) Выражение \(-x^3 + y^3\) можно переписать как \(y^3 — x^3\), что является разностью кубов. Применяем формулу разности кубов с \(a = y\), \(b = x\). Получаем разложение \(y^3 — x^3 = (y — x)(y^2 + xy + x^2)\). Вторая скобка — сумма квадрата первого слагаемого, произведения оснований и квадрата второго.

д) В выражении \(b^3 — \frac{1}{125}\) число \(\frac{1}{125}\) можно представить как куб \(\left(\frac{1}{5}\right)^3\), так как \(125 = 5^3\). Значит, это разность кубов с \(a = b\), \(b = \frac{1}{5}\). Применяем формулу разности кубов:
\(b^3 — \left(\frac{1}{5}\right)^3 = \left(b — \frac{1}{5}\right)\left(b^2 + \frac{1}{5}b + \frac{1}{25}\right)\). Вторая скобка содержит квадрат первого слагаемого, произведение первого и второго, а также квадрат второго.

е) В выражении \(\frac{1}{27} — t^3\) число \(\frac{1}{27}\) — это куб \(\left(\frac{1}{3}\right)^3\), поскольку \(27 = 3^3\). Значит, это разность кубов с \(a = \frac{1}{3}\), \(b = t\). По формуле разности кубов получаем:
\(\left(\frac{1}{3}\right)^3 — t^3 = \left(\frac{1}{3} — t\right)\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}t + t^2\right)\). Вторая скобка — сумма квадрата первого слагаемого, произведения и квадрата второго.