ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 873 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(x^3 + y^3\);

б) \(x^3 + 1\);

в) \(m^3 + 27\);

г) \(8 + c^3\);

д) \(y^3 + \frac{1}{8}\);

е) \(\frac{8}{27} + z^3\).

а) \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\).

б) \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 — x + 1)\).

в) \(m^3 + 27 = m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 — 3m + 9)\).

г) \(8 + c^3 = 2^3 + c^3 = (2 + c)(4 — 2c + c^2)\).

д) \(y^3 + \frac{1}{8} = y^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(y + \frac{1}{2}\right)\left(y^2 — \frac{1}{2}y + \frac{1}{4}\right)\).

е) \(\frac{8}{27} + z^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 + z^3 = \left(\frac{2}{3} + z\right)\left(\frac{4}{9} — \frac{2}{3}z + z^2\right)\).

а) Формула \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\) является классическим разложением суммы кубов. Здесь мы используем известное тождество, которое позволяет представить сумму двух кубов в виде произведения двух множителей. Первый множитель — это сумма самих переменных \(x + y\), а второй — квадрат первого слагаемого минус произведение переменных плюс квадрат второго слагаемого. Это разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений, где встречаются суммы кубов.

б) Для выражения \(x^3 + 1\) мы применяем формулу суммы кубов, где \(1 = 1^3\). Тогда \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 — x + 1)\). Первый множитель — это сумма основания куба и единицы, а второй — квадрат первого слагаемого минус само слагаемое плюс единица. Это стандартный способ разложения суммы кубов, который позволяет легко работать с такими выражениями.

в) В случае \(m^3 + 27\) заметим, что \(27 = 3^3\), значит мы снова имеем сумму кубов. Применяя формулу, получаем \(m^3 + 27 = m^3 + 3^3 = (m + 3)(m^2 — 3m + 9)\). Здесь первый множитель — сумма оснований кубов, а второй — квадрат первого минус произведение оснований плюс квадрат второго. Это разложение помогает упростить выражение и использовать его в дальнейших вычислениях.

г) Рассмотрим выражение \(8 + c^3\). Так как \(8 = 2^3\), это тоже сумма кубов. Применяя формулу, получаем \(8 + c^3 = 2^3 + c^3 = (2 + c)(4 — 2c + c^2)\). Первый множитель — сумма оснований кубов, а второй — квадрат первого минус удвоенное произведение оснований плюс квадрат второго. Это позволяет представить сумму кубов в виде произведения, что удобно для анализа и решения задач.

д) Выражение \(y^3 + \frac{1}{8}\) можно представить как сумму кубов, поскольку \(\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3\). Тогда \(y^3 + \frac{1}{8} = y^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(y + \frac{1}{2}\right)\left(y^2 — \frac{1}{2}y + \frac{1}{4}\right)\). Первый множитель — сумма переменной и дроби, а второй — квадрат первого минус произведение переменной и дроби плюс квадрат дроби. Это разложение помогает упростить выражение с дробными степенями.

е) В выражении \(\frac{8}{27} + z^3\) заметим, что \(\frac{8}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^3\), значит это сумма кубов. Используем формулу: \(\frac{8}{27} + z^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 + z^3 = \left(\frac{2}{3} + z\right)\left(\frac{4}{9} — \frac{2}{3}z + z^2\right)\). Первый множитель — сумма дроби и переменной, а второй — квадрат дроби минус произведение дроби и переменной плюс квадрат переменной. Это разложение удобно при работе с кубическими выражениями, особенно с дробными степенями.