ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 872 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните умножение, используя формулу суммы кубов или разности кубов:

а) \((m — 1)(m^2 + m + 1)\);

б) \((x + y)(x^2 — xy + y^2)\);

в) \((2a + 2b)(4a^2 — 4ab + 4b^2)\);

г) \((2 — y^2)(4 + 2y^2 + y^4)\).

а) Используем формулу разности кубов:
\((m — 1)(m^2 + m + 1) = m^3 — 1\).

б) Используем формулу суммы кубов:
\((x + y)(x^2 — xy + y^2) = x^3 + y^3\).

в) Вынесем множители:
\((2a + 2b)(4a^2 — 4ab + 4b^2) = 2(a + b) \cdot 4(a^2 — ab + b^2) =\)
\(= 8(a + b)(a^2 — ab + b^2) = 8(a^3 + b^3)\).

г) Используем формулу разности кубов с \(a = 2\), \(b = y^2\):
\((2 — y^2)(4 + 2 \cdot 2 \cdot y^2 + (y^2)^2) = 2^3 — (y^2)^3 = 8 — y^6\).

а) Рассмотрим выражение \((m — 1)(m^2 + m + 1)\). Здесь удобно применить формулу разности кубов, которая гласит, что произведение \((a — b)(a^2 + ab + b^2)\) равно \(a^3 — b^3\). В нашем случае \(a = m\), \(b = 1\), поэтому можно сразу записать, что \((m — 1)(m^2 + m + 1) = m^3 — 1^3\). Так как \(1^3 = 1\), итоговое выражение равно \(m^3 — 1\). Это позволяет упростить произведение двух многочленов в разность кубов, что значительно облегчает вычисления.

б) В выражении \((x + y)(x^2 — xy + y^2)\) используется формула суммы кубов, которая утверждает, что произведение \((a + b)(a^2 — ab + b^2)\) равно \(a^3 + b^3\). Здесь \(a = x\), \(b = y\), значит, умножая скобки, мы получаем \(x^3 + y^3\). Эта формула помогает быстро раскрыть скобки и преобразовать сложное выражение в более простое, состоящее из суммы кубов переменных.

в) В выражении \((2a + 2b)(4a^2 — 4ab + 4b^2)\) сначала выделим множители из скобок. Первая скобка равна \(2(a + b)\), вторая — \(4(a^2 — ab + b^2)\). Перемножая, получаем \(2 \cdot 4 (a + b)(a^2 — ab + b^2) = 8 (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). По формуле суммы кубов это равно \(8(a^3 + b^3)\). Таким образом, исходное выражение упрощается до \(8a^3 + 8b^3\), что значительно удобнее для дальнейших вычислений.

г) Рассмотрим \((2 — y^2)(4 + 2 \cdot 2 \cdot y^2 + (y^2)^2)\). Заметим, что это выражение соответствует формуле разности кубов \((a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 — b^3\), где \(a = 2\), \(b = y^2\). Раскрывая, получаем \(2^3 — (y^2)^3 = 8 — y^{6}\). Это показывает, как можно использовать формулы кубов для упрощения произведений многочленов с высокой степенью.