ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 871 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните умножение по правилу умножения многочленов:

а) \((x + 1)(x^2 — x + 1)\);

б) \((a — c)(a^2 + ac + c^2)\).

а) Раскроем скобки: \( (x+1)(x^2 — x + 1) = x(x^2 — x + 1) + 1(x^2 — x + 1) \).

Выполним умножение: \( = x^3 — x^2 + x + x^2 — x + 1 \).

Сложим подобные члены: \( = x^3 + 1 \).

б) Раскроем скобки: \( (a — c)(a^2 + ac + c^2) = a(a^2 + ac + c^2) — c(a^2 + ac + c^2) \).

Выполним умножение: \( = a^3 + a^2 c + a c^2 — a^2 c — a c^2 — c^3 \).

Сложим подобные члены: \( = a^3 — c^3 \).

а) Начнем с умножения многочленов \( (x + 1) \) и \( (x^{2} — x + 1) \). По правилу умножения многочленов, каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго. Это значит, что сначала нужно умножить \( x \) на каждый из трех членов второго многочлена: \( x^{2} \), \( -x \) и \( 1 \). При этом получаем три слагаемых: \( x \cdot x^{2} = x^{3} \), \( x \cdot (-x) = -x^{2} \), \( x \cdot 1 = x \). Затем умножаем второй член первого многочлена, то есть \( 1 \), на каждый из членов второго многочлена: \( 1 \cdot x^{2} = x^{2} \), \( 1 \cdot (-x) = -x \), \( 1 \cdot 1 = 1 \).

Теперь выпишем все полученные слагаемые вместе: \( x^{3} — x^{2} + x + x^{2} — x + 1 \). Следующий шаг — это сложение подобных членов. Обратите внимание, что слагаемые \( -x^{2} \) и \( x^{2} \) взаимно уничтожаются, так как \( -x^{2} + x^{2} = 0 \). Аналогично, \( x \) и \( -x \) тоже взаимно уничтожаются: \( x — x = 0 \). После сокращения остаются только два слагаемых: \( x^{3} \) и \( 1 \). Таким образом, результат умножения равен \( x^{3} + 1 \).

б) Рассмотрим умножение многочленов \( (a — c) \) и \( (a^{2} + ac + c^{2}) \). Снова применяем правило, что каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго. Сначала умножаем \( a \) на каждый член второго многочлена: \( a \cdot a^{2} = a^{3} \), \( a \cdot ac = a^{2} c \), \( a \cdot c^{2} = a c^{2} \). Затем умножаем \( -c \) на каждый член второго многочлена: \( -c \cdot a^{2} = -a^{2} c \), \( -c \cdot ac = -a c^{2} \), \( -c \cdot c^{2} = -c^{3} \).

Теперь выпишем все слагаемые: \( a^{3} + a^{2} c + a c^{2} — a^{2} c — a c^{2} — c^{3} \). При сложении подобных членов заметим, что \( a^{2} c \) и \( -a^{2} c \) взаимно уничтожаются, так как \( a^{2} c — a^{2} c = 0 \). Аналогично, \( a c^{2} \) и \( -a c^{2} \) тоже взаимно уничтожаются: \( a c^{2} — a c^{2} = 0 \). Остаются только два слагаемых: \( a^{3} \) и \( -c^{3} \). Итоговый результат умножения равен \( a^{3} — c^{3} \).