ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 870 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Используйте формулу \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\) для преобразования произведения в многочлен

а) \((a + b — c)(a + b + c)\);

б) \((x + y — z)(x — y + z)\);

в) \((a^2 + 2a — 1)(a^2 — 2a + 1)\);

г) \((x^2 — 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\).

а) \((a+b-c)(a+b+c) = (a+b)^2 — c^2 = a^2 + 2ab + b^2 — c^2\)

б) \((x+y-z)(x — y + z) = x^2 — (y — z)^2 = x^2 — y^2 + 2yz — z^2\)

в) \((a^2 + 2a — 1)(a^2 — 2a + 1) = (a^2)^2 — (2a — 1)^2 =\)
\(= a^4 — (4a^2 — 4a + 1) = a^4 — 4a^2 + 4a — 1\)

г) \((x^2 — 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) = (x^2 + 2)^2 — (2x)^2 =\)
\(= x^4 + 4x^2 + 4 — 4x^2 = x^4 + 4\)

а) Выражение \((a+b-c)(a+b+c)\) можно рассматривать как произведение двух выражений, отличающихся знаком перед \(c\). Если обозначить \(A = a + b\) и \(B = c\), то оно принимает вид \((A — B)(A + B)\). По формуле разности квадратов это равно \(A^2 — B^2\). Значит, раскрываем скобки: \( (a+b)^2 — c^2\). Возводя сумму в квадрат, получаем \(a^2 + 2ab + b^2\). Итоговое выражение будет \(a^2 + 2ab + b^2 — c^2\).

б) В выражении \((x+y-z)(x — y + z)\) можно заметить, что обе скобки похожи, но с разными знаками внутри. Представим \(A = x\) и \(B = y — z\). Тогда выражение перепишется как \((A + B)(A — B)\). По формуле разности квадратов это равно \(A^2 — B^2\). Значит, \(x^2 — (y — z)^2\). Раскрывая квадрат разности, получаем \(y^2 — 2yz + z^2\). Подставляем обратно и раскрываем скобки: \(x^2 — y^2 + 2yz — z^2\).

в) Выражение \((a^2 + 2a — 1)(a^2 — 2a + 1)\) также можно записать как \((A + B)(A — B)\), где \(A = a^2\), а \(B = 2a — 1\). По формуле разности квадратов получаем \(A^2 — B^2 = (a^2)^2 — (2a — 1)^2\). Возводим в квадрат: \(a^4 — (4a^2 — 4a + 1)\). Раскрываем скобки со знаком минус: \(a^4 — 4a^2 + 4a — 1\).

г) В выражении \((x^2 — 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\) выделим \(A = x^2 + 2\) и \(B = 2x\). Тогда выражение примет вид \((A — B)(A + B)\), что равно \(A^2 — B^2\). Подставляем: \((x^2 + 2)^2 — (2x)^2\). Возводим в квадрат: \(x^4 + 4x^2 + 4 — 4x^2\). Сокращаем одинаковые слагаемые \(+4x^2\) и \(-4x^2\), остаётся \(x^4 + 4\).