ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 868 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена

а) \((x — y)(x + y)(x^2 + y^2)\);

б) \((a — 1)(a + 1)(a^2 + 1)\);

в) \((1 — a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)\);

г) \((x^2 — 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)\).

Используйте формулу \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\) для преобразования произведения в многочлен

а) \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\), тогда \((x^2 — y^2)(x^2 + y^2) = x^4 — y^4\).

б) \((a — 1)(a + 1) = a^2 — 1\), тогда \((a^2 — 1)(a^2 + 1) = a^4 — 1\).

в) \((1 — a)(1 + a) = 1 — a^2\), тогда \((1 — a^2)(1 + a^2) = 1 — a^4\), далее \((1 — a^4)(1 + a^4) = 1 — a^8\).

г) \((x^2 — 1)(x^2 + 1) = x^4 — 1\), тогда \((x^4 — 1)(x^4 + 1) = x^8 — 1\), далее \((x^8 — 1)(x^8 + 1) = x^{16} — 1\).

а) Сначала рассмотрим выражение \((x — y)(x + y)\). По формуле разности квадратов оно равно \(x^2 — y^2\), так как \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\). Далее умножаем полученное на \(x^2 + y^2\), то есть рассматриваем произведение \((x^2 — y^2)(x^2 + y^2)\). Применяя ту же формулу к этим множителям, получаем разность квадратов: \( (x^2)^2 — (y^2)^2 = x^4 — y^4\). Таким образом, исходное выражение преобразуется в многочлен \(x^4 — y^4\).

б) В выражении \((a — 1)(a + 1)(a^2 + 1)\) сначала используем формулу разности квадратов для первых двух множителей: \((a — 1)(a + 1) = a^2 — 1\). После этого умножаем результат на \(a^2 + 1\), получая \((a^2 — 1)(a^2 + 1)\). Снова применяем формулу разности квадратов, так как это произведение двух выражений вида \(p — q\) и \(p + q\), где \(p = a^2\), \(q = 1\). Результат равен \(a^4 — 1\).

в) Рассмотрим выражение \((1 — a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)\). Сначала применяем формулу разности квадратов к первым двум множителям: \((1 — a)(1 + a) = 1 — a^2\). Теперь выражение принимает вид \((1 — a^2)(1 + a^2)(1 + a^4)\). Снова применяем формулу разности квадратов к первым двум множителям: \((1 — a^2)(1 + a^2) = 1 — a^4\). Теперь осталось умножить \(1 — a^4\) на \(1 + a^4\), что снова является разностью квадратов и равно \(1 — a^8\). Таким образом, исходное выражение равно \(1 — a^8\).

г) В выражении \((x^2 — 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)\) сначала используем формулу разности квадратов для первых двух множителей: \((x^2 — 1)(x^2 + 1) = x^4 — 1\). Далее умножаем результат на \(x^4 + 1\), получая \((x^4 — 1)(x^4 + 1)\). Это произведение также является разностью квадратов и равно \(x^8 — 1\). В конце умножаем на последний множитель \(x^8 + 1\), и снова применяем формулу разности квадратов: \((x^8 — 1)(x^8 + 1) = x^{16} — 1\). Таким образом, исходное выражение преобразуется в многочлен \(x^{16} — 1\).