ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 866 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том, что произведение крайних из них равно квадрату среднего, уменьшенному на единицу. Докажите это утверждение. (Обозначьте среднее число буквой \(n\).)

а) Пусть \(a\) — данное натуральное число, \((a — 1)\) — предыдущее число. Тогда:
\(a^2 — (a — 1)^2 = a + (a — 1)\)
\((a — (a — 1))(a + (a — 1)) = a + a — 1\)
\((a — a + 1)(a + a — 1) = 2a — 1\)
\(2a — 1 = 2a — 1 \Rightarrow\) что и требовалось доказать.
Например:
если \(a = 10\), то \((a — 1) = 9\), тогда:
\(10^2 — 9^2 = 10 + 9\)
\((10 — 9)(10 + 9) = 19\)
\(1 \cdot 19 = 19\)
\(19 = 19 \Rightarrow\) верно.

б) Пусть \(a\) — данное чётное натуральное число, \((a — 2)\) — предыдущее чётное натуральное число. Тогда:
\(a^2 — (a — 2)^2 = 2 \cdot (a + (a — 2))\)
\((a — (a — 2))(a + (a — 2)) = 2 \cdot (a + a — 2)\)
\((a — a + 2)(a + a — 2) = 2 \cdot (2a — 2)\)
\(2 \cdot (2a — 2) = 2 \cdot (2a — 2)\)
\(4 \cdot (a — 1) = 4 \cdot (a — 1) \Rightarrow\) что и требовалось доказать.
Например:
если \(a = 10\), то \((a — 2) = 8\), тогда:
\(10^2 — 8^2 = 2 \cdot (10 + 8)\)
\((10 — 8)(10 + 8) = 2 \cdot 18\)
\(2 \cdot 18 = 36\)
\(36 = 36 \Rightarrow\) верно.

а) Пусть \(a\) — заданное натуральное число, а \((a — 1)\) — число, которое предшествует \(a\). Рассмотрим выражение \(a^2 — (a — 1)^2\). Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Подставляя \(x = a\), \(y = a — 1\), получаем:
\(a^2 — (a — 1)^2 = (a — (a — 1)) \cdot (a + (a — 1))\).

Вычислим каждую часть отдельно. Разность \(a — (a — 1)\) равна \(1\), так как \(a — a + 1 = 1\). Сумма \(a + (a — 1)\) равна \(2a — 1\). Следовательно, произведение равно \(1 \cdot (2a — 1) = 2a — 1\). Таким образом, выражение \(a^2 — (a — 1)^2\) сводится к \(2a — 1\). Это доказывает, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел, что и требовалось показать.

Для наглядности рассмотрим пример, когда \(a = 10\). Тогда \((a — 1) = 9\). Подставим в формулу:
\(10^2 — 9^2 = (10 — 9)(10 + 9) = 1 \cdot 19 = 19\).
С другой стороны, сумма чисел \(10 + 9 = 19\). Значит, равенство выполняется, что подтверждает правильность доказательства.

б) Пусть теперь \(a\) — чётное натуральное число, а \((a — 2)\) — предыдущее чётное натуральное число. Рассмотрим выражение \(a^2 — (a — 2)^2\). По формуле разности квадратов имеем:
\(a^2 — (a — 2)^2 = (a — (a — 2)) \cdot (a + (a — 2))\).

Вычислим части выражения. Разность \(a — (a — 2) = 2\), так как \(a — a + 2 = 2\). Сумма \(a + (a — 2) = 2a — 2\). Следовательно, произведение равно \(2 \cdot (2a — 2) = 4a — 4\). Заметим, что \(4a — 4\) можно записать как \(4 \cdot (a — 1)\). Таким образом, разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна произведению числа 4 на число, предшествующее \(a\).

Рассмотрим пример при \(a = 10\), тогда \((a — 2) = 8\). Подставим в формулу:
\(10^2 — 8^2 = (10 — 8)(10 + 8) = 2 \cdot 18 = 36\).
С другой стороны, \(4 \cdot (10 — 1) = 4 \cdot 9 = 36\). Значит, равенство верно, что подтверждает доказательство.

Таким образом, для натурального числа \(a\) и его предыдущего числа \((a — 1)\) разность квадратов равна сумме этих чисел, а для чётного числа \(a\) и предыдущего чётного числа \((a — 2)\) разность квадратов равна удвоенной сумме этих чисел, что выражается формулой \(a^2 — (a — 2)^2 = 2 \cdot (a + (a — 2))\). Эти результаты можно применять для быстрого вычисления разностей квадратов и подтверждать на конкретных числах.