ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 865 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел;

б) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.

Проиллюстрируйте доказанные утверждения конкретными примерами.

а) Пусть даны два последовательных натуральных числа: \( n \) и \( n+1 \).
Разность квадратов:
\( (n+1)^2 — n^2 = n^2 + 2n + 1 — n^2 = 2n + 1 \).
Сумма чисел:
\( n + (n+1) = 2n + 1 \).
Значит, разность квадратов равна сумме чисел.
Пример: \( n = 3 \),
\( (3+1)^2 — 3^2 = 16 — 9 = 7 \),
\( 3 + 4 = 7 \).

б) Пусть даны два последовательных чётных числа: \( 2n \) и \( 2n + 2 \).
Разность квадратов:
\( (2n + 2)^2 — (2n)^2 = 4n^2 + 8n + 4 — 4n^2 = 8n + 4 \).
Удвоенная сумма чисел:
\( 2 \cdot (2n + 2n + 2) = 2 \cdot (4n + 2) = 8n + 4 \).
Значит, разность квадратов равна удвоенной сумме чисел.
Пример: \( n = 5 \),
\( (12)^2 — 10^2 = 144 — 100 = 44 \),
\( 2 \cdot (10 + 12) = 44 \).

а) Рассмотрим два последовательных натуральных числа \( n \) и \( n+1 \). Чтобы понять, чему равна разность их квадратов, сначала запишем выражение для каждого квадрата: \( n^2 \) и \( (n+1)^2 \). Квадрат второго числа раскроем по формуле: \( (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \). Теперь вычтем из квадрата большего числа квадрат меньшего: \( (n+1)^2 — n^2 = (n^2 + 2n + 1) — n^2 \). При вычитании \( n^2 \) сокращаются, и остаётся выражение \( 2n + 1 \).

Далее рассмотрим сумму этих же двух чисел: \( n + (n+1) \). Складывая, получаем \( 2n + 1 \). Таким образом, мы видим, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна их сумме, то есть \( (n+1)^2 — n^2 = n + (n+1) \). Это равенство справедливо для любого натурального \( n \).

На примере \( n = 3 \) проверим это: \( (3+1)^2 — 3^2 = 4^2 — 9 = 16 — 9 = 7 \), а сумма чисел равна \( 3 + 4 = 7 \). Значит, утверждение подтверждается на конкретном примере.

б) Теперь рассмотрим два последовательных чётных числа, которые можно записать как \( 2n \) и \( 2n + 2 \), где \( n \) — натуральное число. Найдём разность квадратов этих чисел: \( (2n + 2)^2 — (2n)^2 \). Раскроем каждый квадрат: \( (2n + 2)^2 = 4n^2 + 8n + 4 \), а \( (2n)^2 = 4n^2 \). Вычитая, получаем: \( 4n^2 + 8n + 4 — 4n^2 = 8n + 4 \).

Теперь найдём удвоенную сумму этих чисел: \( 2 \cdot (2n + 2n + 2) = 2 \cdot (4n + 2) = 8n + 4 \). Видно, что разность квадратов равна удвоенной сумме чисел, то есть \( (2n + 2)^2 — (2n)^2 = 2 \cdot (2n + 2n + 2) \).

Проверим на примере \( n = 5 \): \( (2 \cdot 5 + 2)^2 — (2 \cdot 5)^2 = 12^2 — 10^2 = 144 — 100 = 44 \), а удвоенная сумма чисел равна \( 2 \cdot (10 + 12) = 2 \cdot 22 = 44 \). Следовательно, доказательство верно и для конкретного примера.