ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 864 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители:

а) \((a + b) + (a^2 — b^2)\);

б) \((x — y) + (x^2 — y^2)\);

в) \((b + c) — (b^2 — c^2)\);

г) \((2 — x) — (4 — x^2)\);

д) \((y — 1)^2 — (y^2 — 1)\);

е) \((a^2 — 4) + (a — 2)^2\).

а) \( (a + b) + (a^2 — b^2) = (a + b) + (a — b)(a + b) = (a + b)(1 + a — b) \).

б) \( (x — y) + (x^2 — y^2) = (x — y) + (x — y)(x + y) = (x — y)(1 + x + y) \).

в) \( (b + c) — (b^2 — c^2) = (b + c) — (b — c)(b + c) = (b + c)(1 — b + c) \).

г) \( (2 — x) — (4 — x^2) = (2 — x) — (2 — x)(2 + x) = (2 — x)(1 — 2 — x) =\)
\(= (2 — x)(-1 — x) = -(2 — x)(1 + x) \).

д) \( (y — 1)^2 — (y^2 — 1) = (y — 1)(y — 1) — (y — 1)(y + 1) =\)
\(= (y — 1)(y — 1 — y — 1) = -2(y — 1) \).

е) \( (a^2 — 4) + (a — 2)^2 = (a — 2)(a + 2) + (a — 2)(a — 2) =\)
\(= (a — 2)(a + 2 + a — 2) = 2a(a — 2) \).

а) Выражение \( (a + b) + (a^2 — b^2) \) содержит сумму двух слагаемых, где второе — это разность квадратов. Разность квадратов раскладывается по формуле \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \). Подставляя это в исходное выражение, получаем \( (a + b) + (a — b)(a + b) \). Здесь видно, что во втором и первом слагаемом есть общий множитель \( (a + b) \), который можно вынести за скобки. После вынесения получается произведение \( (a + b)(1 + a — b) \), что и является разложением на множители.

б) В выражении \( (x — y) + (x^2 — y^2) \) также присутствует разность квадратов \( x^2 — y^2 \), которую можно представить в виде \( (x — y)(x + y) \). Тогда исходное выражение перепишется как \( (x — y) + (x — y)(x + y) \). Здесь общий множитель \( (x — y) \) можно вынести за скобки, что даст \( (x — y)(1 + x + y) \). Таким образом, разложение сводится к умножению двух множителей.

в) Рассмотрим выражение \( (b + c) — (b^2 — c^2) \). Разность квадратов \( b^2 — c^2 \) раскладывается как \( (b — c)(b + c) \). Подставим в исходное выражение: \( (b + c) — (b — c)(b + c) \). Здесь общий множитель \( (b + c) \) можно вынести за скобки с учётом знака минус перед вторым слагаемым, что даст \( (b + c)(1 — (b — c)) \). Раскрывая скобки внутри, получаем \( (b + c)(1 — b + c) \), что и является искомым разложением.

г) В выражении \( (2 — x) — (4 — x^2) \) заметим, что \( 4 — x^2 \) — это разность квадратов, которую можно представить как \( (2 — x)(2 + x) \). Тогда исходное выражение принимает вид \( (2 — x) — (2 — x)(2 + x) \). Общий множитель \( (2 — x) \) можно вынести за скобки, учитывая знак минус перед вторым слагаемым, что даёт \( (2 — x)(1 — (2 + x)) \). Вычисляя выражение в скобках, получаем \( (2 — x)(-1 — x) \). Это можно переписать как \( -(2 — x)(1 + x) \), что и является разложением на множители.

д) Рассмотрим \( (y — 1)^2 — (y^2 — 1) \). Заметим, что \( y^2 — 1 \) — разность квадратов, равная \( (y — 1)(y + 1) \). Тогда исходное выражение можно записать как \( (y — 1)(y — 1) — (y — 1)(y + 1) \). Общий множитель \( (y — 1) \) можно вынести за скобки, получив \( (y — 1)((y — 1) — (y + 1)) \). Вычисляя выражение в скобках, получаем \( y — 1 — y — 1 = -2 \). Итоговое разложение: \( -2(y — 1) \).

е) В выражении \( (a^2 — 4) + (a — 2)^2 \) сначала раскроем разность квадратов \( a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2) \), а также квадрат \( (a — 2)^2 = (a — 2)(a — 2) \). Подставляя, получаем сумму двух произведений с общим множителем \( (a — 2) \): \( (a — 2)(a + 2) + (a — 2)(a — 2) \). Вынесем \( (a — 2) \) за скобки, получая \( (a — 2)(a + 2 + a — 2) \). Складывая выражение в скобках, получаем \( 2a \), и итоговое разложение: \( 2a(a — 2) \).