ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 863 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) \((k + m)^2 — n^2\);

б) \((p — n)^2 — 1\);

в) \((x — y)^2 — 1\);

г) \((x + y)^2 — (x — y)^2\);

д) \((x — 1)^2 — (x + 1)^2\);

е) \((a — 2b)^2 — (2a — b)^2\).

а) \( (k + m)^2 — n^2 = ((k + m) — n)((k + m) + n) \)
Разность квадратов представлена как произведение разности и суммы.

б) \( (p — n)^2 — 1 = ((p — n) — 1)((p — n) + 1) \)
Используем формулу разности квадратов с \(1^2\).

в) \( (x — y)^2 — 1 = ((x — y) — 1)((x — y) + 1) \)
Аналогично предыдущему, разность квадратов.

г) \( (x + y)^2 — (x — y)^2 = ((x + y) — (x — y))((x + y) + (x — y)) =\)
\(= 2y \cdot 2x = 4xy \)
Раскрываем разность квадратов и упрощаем.

д) \( (x — 1)^2 — (x + 1)^2 = ((x — 1) — (x + 1))((x — 1) + (x + 1)) =\)
\(= (-2)(2x) = -4x \)
Применяем формулу разности квадратов и упрощаем.

е) \( (a — 2b)^2 — (2a — b)^2 = ((a — 2b) — (2a — b))((a — 2b) + (2a — b)) =\)
\(= (-a — b)(3a — 3b) = -3(a + b)(a — b) = -3(a^2 — b^2) \)
Используем разность квадратов и факторизацию.

а) Выражение \( (k + m)^2 — n^2 \) представляет собой разность квадратов. Формула разности квадратов гласит, что \( A^2 — B^2 = (A — B)(A + B) \). Здесь \( A = k + m \), а \( B = n \). Поэтому мы можем записать \( (k + m)^2 — n^2 = ((k + m) — n)((k + m) + n) \). Это разложение позволяет представить исходное выражение в виде произведения двух скобок, что часто упрощает дальнейшие вычисления или преобразования.

б) В выражении \( (p — n)^2 — 1 \) также применима формула разности квадратов, где \( A = p — n \), а \( B = 1 \). Используя правило, получаем \( (p — n)^2 — 1 = ((p — n) — 1)((p — n) + 1) \). Здесь важно заметить, что число 1 рассматривается как \( 1^2 \), что позволяет использовать стандартную формулу. Такое разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений.

в) Аналогично предыдущему, \( (x — y)^2 — 1 \) можно представить как разность квадратов с \( A = x — y \) и \( B = 1 \). Тогда \( (x — y)^2 — 1 = ((x — y) — 1)((x — y) + 1) \). Это разложение облегчает работу с выражением, так как оно превращает разность квадратов в произведение двух линейных множителей.

г) В выражении \( (x + y)^2 — (x — y)^2 \) мы видим разность квадратов, но здесь оба слагаемых сложнее. Применяем формулу: \( (A)^2 — (B)^2 = (A — B)(A + B) \), где \( A = x + y \), \( B = x — y \). Получаем \( ((x + y) — (x — y))((x + y) + (x — y)) \). Вычисляя разности и суммы внутри скобок, получаем \( (x + y — x + y)(x + y + x — y) = (2y)(2x) = 4xy \). Таким образом, исходное выражение сводится к простому произведению.

д) Рассмотрим \( (x — 1)^2 — (x + 1)^2 \). Здесь также применяем формулу разности квадратов с \( A = x — 1 \), \( B = x + 1 \). Записываем \( ((x — 1) — (x + 1))((x — 1) + (x + 1)) \). Вычисляем разности и суммы: \( (x — 1 — x — 1)(x — 1 + x + 1) = (-2)(2x) = -4x \). Это упрощение показывает, как разность квадратов может привести к линейному выражению.

е) В выражении \( (a — 2b)^2 — (2a — b)^2 \) снова используем формулу разности квадратов с \( A = a — 2b \), \( B = 2a — b \). Записываем \( ((a — 2b) — (2a — b))((a — 2b) + (2a — b)) \). Вычисляем каждую скобку: первая \( a — 2b — 2a + b = -a — b \), вторая \( a — 2b + 2a — b = 3a — 3b \). Перемножаем: \( (-a — b)(3a — 3b) \). Вынесем общий множитель \( 3 \): \( -3(a + b)(a — b) \). По формуле разности квадратов это равно \( -3(a^2 — b^2) \). Таким образом, исходное выражение разложено на произведение с применением нескольких этапов упрощения.