ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 861 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде многочлена

а) \(a(a + 1)(a — 1)\);

б) \(-2(x — 2)(x + 2)\);

в) \(2b(c — b)(c + b)\);

г) \(3a(1 + b)(b — 1)\).

а) Используем формулу разности квадратов:
\((a + 1)(a — 1) = a^2 — 1\), тогда
\(a(a + 1)(a — 1) = a(a^2 — 1) = a^3 — a\).

б) По формуле разности квадратов:
\((x — 2)(x + 2) = x^2 — 4\), значит
\(-2(x — 2)(x + 2) = -2(x^2 — 4) = -2x^2 + 8\).

в) Аналогично:
\((c — b)(c + b) = c^2 — b^2\), следовательно
\(2b(c — b)(c + b) = 2b(c^2 — b^2) = 2bc^2 — 2b^3\).

г) Раскроем скобки:
\((1 + b)(b — 1) = b^2 — 1\), тогда
\(3a(1 + b)(b — 1) = 3a(b^2 — 1) = 3ab^2 — 3a\).

а) Рассмотрим сначала выражение \((a + 1)(a — 1)\). Это произведение двух выражений, которые отличаются только знаком между слагаемыми. Такое произведение известно как разность квадратов и вычисляется по формуле: \((x + y)(x — y) = x^2 — y^2\). В нашем случае \(x = a\), \(y = 1\), значит \((a + 1)(a — 1) = a^2 — 1\). Теперь умножаем полученный результат на \(a\), то есть \(a(a^2 — 1)\). Раскрывая скобки, получаем \(a \cdot a^2 — a \cdot 1 = a^3 — a\).

Таким образом, исходное выражение \(a(a + 1)(a — 1)\) равно \(a^3 — a\). Это многочлен третьей степени с двумя слагаемыми. Первый член \(a^3\) — куб переменной \(a\), а второй член \(-a\) — линейный член, умноженный на минус один.

б) В выражении \(-2(x — 2)(x + 2)\) также используется формула разности квадратов. Здесь \(x\) — переменная, а \(2\) — число, поэтому \((x — 2)(x + 2) = x^2 — 2^2 = x^2 — 4\). Далее умножаем это выражение на \(-2\), получая \(-2(x^2 — 4)\). Раскрывая скобки, получаем \(-2x^2 + 8\), так как минус два умножается на оба слагаемых внутри скобок.

Это выражение является многочленом второй степени с двумя слагаемыми: \(-2x^2\) — квадратичный член с отрицательным коэффициентом, и \(+8\) — свободный член.

в) В выражении \(2b(c — b)(c + b)\) снова применяется формула разности квадратов. Здесь \((c — b)(c + b) = c^2 — b^2\), так как \(c\) и \(b\) — переменные. Подставляя это обратно, получаем \(2b(c^2 — b^2)\). Раскрывая скобки, умножаем \(2b\) на каждый член внутри скобок: \(2b \cdot c^2 = 2bc^2\) и \(2b \cdot (-b^2) = -2b^3\).

Итоговое выражение — многочлен с двумя слагаемыми: \(2bc^2\) и \(-2b^3\). Первый член содержит произведение \(b\) и квадрата \(c\), а второй — куб переменной \(b\) с отрицательным знаком.

г) Выражение \(3a(1 + b)(b — 1)\) требует раскрытия скобок внутри: \((1 + b)(b — 1)\). Используем распределительный закон умножения: \(1 \cdot b = b\), \(1 \cdot (-1) = -1\), \(b \cdot b = b^2\), \(b \cdot (-1) = -b\). Складываем эти результаты: \(b — 1 + b^2 — b\). Здесь \(b\) и \(-b\) взаимно уничтожаются, остаётся \(b^2 — 1\).

Теперь умножаем \(3a\) на полученное выражение: \(3a(b^2 — 1) = 3ab^2 — 3a\). Это многочлен с двумя слагаемыми: первый — кубический член по \(b\), умноженный на \(a\), второй — линейный член по \(a\) с отрицательным знаком.