ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 858 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите, используя формулу

\((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\):

а) \(19 \cdot 21\);

б) \(99 \cdot 101\);

в) \(28 \cdot 32\);

г) \(4\frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{2}\).

Образец.

\(49 \cdot 51 = (50 — 1)(50 + 1) = 50^2 — 1 = 2500 — 1 = 2499\).

а) \(19 \cdot 21 = (20 — 1)(20 + 1) = 20^2 — 1^2 = 400 — 1 = 399\).

б) \(99 \cdot 101 = (100 — 1)(100 + 1) = 100^2 — 1^2 = 10000 — 1 = 9999\).

в) \(28 \cdot 32 = (30 — 2)(30 + 2) = 30^2 — 2^2 = 900 — 4 = 896\).

г) \(4 \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{1}{2} = \left(5 — \frac{1}{2}\right) \left(5 + \frac{1}{2}\right) = 5^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 25 — \frac{1}{4} = 24 \frac{3}{4}\).

а) Для вычисления произведения \(19 \cdot 21\) используем формулу разности квадратов: \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \). Здесь \(a = 20\), а \(b = 1\), так как \(19 = 20 — 1\) и \(21 = 20 + 1\). Подставляем в формулу: \( (20 — 1)(20 + 1) = 20^2 — 1^2 \). Возводим в квадрат: \(20^2 = 400\), \(1^2 = 1\). Вычитаем: \(400 — 1 = 399\). Таким образом, \(19 \cdot 21 = 399\).

б) Аналогично решаем \(99 \cdot 101\). Здесь \(a = 100\), \(b = 1\), так как \(99 = 100 — 1\), \(101 = 100 + 1\). Формула разности квадратов даёт: \( (100 — 1)(100 + 1) = 100^2 — 1^2 \). Вычисляем квадраты: \(100^2 = 10000\), \(1^2 = 1\). Разность равна \(10000 — 1 = 9999\). Значит, \(99 \cdot 101 = 9999\).

в) Для произведения \(28 \cdot 32\) выбираем \(a = 30\), \(b = 2\), так как \(28 = 30 — 2\), \(32 = 30 + 2\). Применяем формулу: \( (30 — 2)(30 + 2) = 30^2 — 2^2 \). Вычисления: \(30^2 = 900\), \(2^2 = 4\). Разность: \(900 — 4 = 896\). Следовательно, \(28 \cdot 32 = 896\).

г) Рассмотрим смешанные числа \(4 \frac{1}{2}\) и \(5 \frac{1}{2}\). Переведём их в неправильные дроби: \(4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\), \(5 \frac{1}{2} = \frac{11}{2}\). Чтобы применить формулу, представим числа как \( \left(5 — \frac{1}{2}\right) \) и \( \left(5 + \frac{1}{2}\right) \), где \(a = 5\), \(b = \frac{1}{2}\). Тогда произведение равно \( \left(5 — \frac{1}{2}\right) \left(5 + \frac{1}{2}\right) = 5^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2 \). Вычисляем квадраты: \(5^2 = 25\), \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \). Разность: \(25 — \frac{1}{4} = \frac{100}{4} — \frac{1}{4} = \frac{99}{4}\). Переводим обратно в смешанное число: \( \frac{99}{4} = 24 \frac{3}{4} \). Значит, \(4 \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{1}{2} = 24 \frac{3}{4}\).