ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 854 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) \(\frac{a + b}{a^2 — b^2}\);

б) \(\frac{x — y}{x^2 — y^2}\);

в) \(\frac{a^2 — 1}{ab — b^2}\);

г) \(\frac{ab — 3a}{b^2 — 9}\);

д) \(\frac{x^2 — y^2}{x^2 + 2xy + y^2}\);

е) \(\frac{a^2 — 2ab + b^2}{a^2 — b^2}\).

а) \( \frac{a + b}{a^2 — b^2} = \frac{a + b}{(a — b)(a + b)} = \frac{1}{a — b} \).

б) \( \frac{x — y}{x^2 — y^2} = \frac{x — y}{(x — y)(x + y)} = \frac{1}{x + y} \).

в) \( \frac{a^2 — 1}{ab — b} = \frac{(a — 1)(a + 1)}{b(a — 1)} = \frac{a + 1}{b} \).

г) \( \frac{ab — 3a}{b^2 — 9} = \frac{a(b — 3)}{(b — 3)(b + 3)} = \frac{a}{b + 3} \).

д) \( \frac{x^2 — y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{(x — y)(x + y)}{(x + y)^2} = \frac{x — y}{x + y} \).

е) \( \frac{a^2 — 2ab + b^2}{a^2 — b^2} = \frac{(a — b)^2}{(a — b)(a + b)} = \frac{a — b}{a + b} \).

а) В числителе стоит выражение \(a + b\), а в знаменателе — разность квадратов \(a^2 — b^2\). Известно, что разность квадратов раскладывается по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Подставляя это в знаменатель, получаем дробь вида \(\frac{a + b}{(a — b)(a + b)}\). Теперь можно сократить общий множитель \(a + b\) в числителе и знаменателе, так как он не равен нулю. После сокращения остается \(\frac{1}{a — b}\), что и является упрощенным выражением.

б) Аналогично первому примеру, числитель — это \(x — y\), а знаменатель — разность квадратов \(x^2 — y^2\). По формуле разности квадратов знаменатель раскладывается как \((x — y)(x + y)\). Таким образом, дробь принимает вид \(\frac{x — y}{(x — y)(x + y)}\). Здесь можно сократить множитель \(x — y\), так как он не равен нулю, и получить \(\frac{1}{x + y}\). Это и есть сокращённая форма дроби.

в) В числителе стоит выражение \(a^2 — 1\), которое является разностью квадратов и раскладывается как \((a — 1)(a + 1)\). В знаменателе — выражение \(ab — b\), которое можно вынести за скобки как \(b(a — 1)\). Таким образом, дробь принимает вид \(\frac{(a — 1)(a + 1)}{b(a — 1)}\). Здесь можно сократить множитель \(a — 1\), при условии, что он не равен нулю. После сокращения остаётся \(\frac{a + 1}{b}\), что и является упрощённым выражением.

г) В числителе выражение \(ab — 3a\) можно представить в виде \(a(b — 3)\), вынеся \(a\) за скобки. В знаменателе стоит разность квадратов \(b^2 — 9\), которая раскладывается как \((b — 3)(b + 3)\). Таким образом, дробь записывается как \(\frac{a(b — 3)}{(b — 3)(b + 3)}\). Можно сократить множитель \(b — 3\), так как он не равен нулю, и получить \(\frac{a}{b + 3}\) — это и есть сокращённая форма.

д) В числителе разность квадратов \(x^2 — y^2\), которая раскладывается как \((x — y)(x + y)\). В знаменателе — квадрат суммы \(x^2 + 2xy + y^2\), который равен \((x + y)^2\). Таким образом, дробь принимает вид \(\frac{(x — y)(x + y)}{(x + y)^2}\). Можно сократить множитель \(x + y\), оставив \(\frac{x — y}{x + y}\), что является упрощённым выражением.

е) В числителе стоит выражение \(a^2 — 2ab + b^2\), которое является квадратом разности и раскладывается как \((a — b)^2\). В знаменателе — разность квадратов \(a^2 — b^2\), раскладывающаяся как \((a — b)(a + b)\). Тогда дробь записывается как \(\frac{(a — b)^2}{(a — b)(a + b)}\). Можно сократить множитель \(a — b\), и в итоге получить \(\frac{a — b}{a + b}\) — это и есть сокращённое выражение.