ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 853 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

ДОКАЗЫВАЕМ

а) Делится ли значение выражения \(35^2 — 11^2\) на 2? на 3? на 4? на 5? на 6? на 12? на 22? на 23? на 24?

б) Укажите 10 делителей числа, равного \(97^2 — 43^2\).

а) \(35^2 — 11^2 = (35 — 11)(35 + 11) = 24 \cdot 46\).

\(24 \cdot 46\) делится на 2, 3, 4, 6, 12, 23, 24, так как хотя бы один из множителей делится на эти числа.

Не делится на 5 и 22, так как ни 24, ни 46 не делятся на них.

б) \(97^2 — 43^2 = (97 — 43)(97 + 43) = 54 \cdot 140\).

Десять делителей числа \(54 \cdot 140\):
2; 3; 5; 7; 9; 20; 27; 54; 70; 140.

а) Выражение \(35^2 — 11^2\) можно упростить с помощью формулы разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Подставляя значения, получаем \( (35 — 11)(35 + 11) = 24 \cdot 46 \). Это произведение двух чисел, и для проверки делимости исходного выражения на различные числа достаточно проверить делимость произведения.

Чтобы проверить делимость на 2, нужно, чтобы хотя бы один из множителей делился на 2. Числа 24 и 46 оба делятся на 2, значит произведение делится на 2. Аналогично для 3, 4, 6, 12 и 24 — число 24 делится на все эти числа, поэтому произведение делится на них. Для 23 проверяем 46, которое делится на 23, значит произведение делится на 23. Для 5 и 22 ни 24, ни 46 не делятся на эти числа, следовательно, произведение не делится на 5 и 22.

б) Рассмотрим выражение \(97^2 — 43^2\). По формуле разности квадратов оно равно \((97 — 43)(97 + 43) = 54 \cdot 140\). Чтобы найти делители числа \(54 \cdot 140\), нужно разложить множители на простые числа: \(54 = 2 \cdot 3^3\), \(140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7\). Перемножая, получаем набор делителей, среди которых выделяют десять: 2, 3, 5, 7, 9, 20, 27, 54, 70, 140. Эти числа делят произведение без остатка, поскольку они являются произведениями простых делителей множителей.