ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 851 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(x^2y^2 — z^2\);

б) \(a^2b^2 — 16\);

в) \(9 — m^2n^2\);

г) \(b^2c^2 — 1\);

д) \(y^4 — x^2\);

е) \(y^6 — 9\);

ж) \(x^{10} — 25\);

з) \(9 — b^4\).

а) \(x^2 y^2 — z^2 = (xy)^2 — z^2\). Это разность квадратов, раскладываем как \((xy — z)(xy + z)\).

б) \(a^2 b^2 — 16 = (ab)^2 — 4^2\). Разность квадратов, раскладываем как \((ab — 4)(ab + 4)\).

в) \(9 — m^2 n^2 = 3^2 — (mn)^2\). Разность квадратов, раскладываем как \((3 — mn)(3 + mn)\).

г) \(b^2 c^2 — 1 = (bc)^2 — 1^2\). Разность квадратов, раскладываем как \((bc — 1)(bc + 1)\).

д) \(y^4 — x^2 = (y^2)^2 — x^2\). Разность квадратов, раскладываем как \((y^2 — x)(y^2 + x)\).

е) \(y^6 — 9 = (y^3)^2 — 3^2\). Разность квадратов, раскладываем как \((y^3 — 3)(y^3 + 3)\).

ж) \(x^{10} — 25 = (x^5)^2 — 5^2\). Разность квадратов, раскладываем как \((x^5 — 5)(x^5 + 5)\).

з) \(9 — b^4 = 3^2 — (b^2)^2\). Разность квадратов, раскладываем как \((3 — b^2)(3 + b^2)\).

а) Выражение \(x^2 y^2 — z^2\) представляет собой разность квадратов, так как \(x^2 y^2 = (xy)^2\) и \(z^2 = z^2\). Формула разности квадратов гласит, что для любых чисел \(A\) и \(B\) верно равенство \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\). Здесь \(A = xy\), а \(B = z\), поэтому раскладываем на множители как \((xy — z)(xy + z)\).

Это разложение полезно, потому что оно позволяет представить разность квадратов в виде произведения двух выражений, каждое из которых проще анализировать или использовать в дальнейших вычислениях. В алгебраических преобразованиях такой подход часто помогает упростить задачи, связанные с делением или нахождением корней.

Таким образом, итоговое разложение: \(x^2 y^2 — z^2 = (xy — z)(xy + z)\).

б) Рассмотрим выражение \(a^2 b^2 — 16\). Здесь \(a^2 b^2 = (ab)^2\), а число 16 является квадратом числа 4, то есть \(16 = 4^2\). Это снова разность квадратов. Применяем формулу \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\), где \(A = ab\), \(B = 4\).

Выполнив разложение, получаем \((ab — 4)(ab + 4)\). Это позволяет упростить исходное выражение и использовать его в дальнейших вычислениях, например, при решении уравнений или упрощении дробей.

Итог: \(a^2 b^2 — 16 = (ab — 4)(ab + 4)\).

в) В выражении \(9 — m^2 n^2\) заметим, что 9 — это \(3^2\), а \(m^2 n^2 = (mn)^2\). Значит, мы имеем разность квадратов \(3^2 — (mn)^2\). Применяем формулу разности квадратов с \(A = 3\), \(B = mn\).

Раскладываем как \((3 — mn)(3 + mn)\). Это разложение помогает упростить выражение и сделать его более удобным для дальнейших операций.

Итог: \(9 — m^2 n^2 = (3 — mn)(3 + mn)\).

г) Выражение \(b^2 c^2 — 1\) можно переписать как \((bc)^2 — 1^2\). Это классический пример разности квадратов. Формула \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\) применяется с \(A = bc\), \(B = 1\).

В результате получаем разложение \((bc — 1)(bc + 1)\), что значительно упрощает исходное выражение.

Итог: \(b^2 c^2 — 1 = (bc — 1)(bc + 1)\).

д) Рассмотрим \(y^4 — x^2\). Запишем \(y^4\) как \((y^2)^2\), а \(x^2\) оставим как есть. Мы видим разность квадратов: \((y^2)^2 — x^2\).

Применяем формулу разности квадратов с \(A = y^2\), \(B = x\). Получаем разложение \((y^2 — x)(y^2 + x)\).

Это разложение позволяет упростить выражение и использовать его в дальнейшем.

Итог: \(y^4 — x^2 = (y^2 — x)(y^2 + x)\).

е) В выражении \(y^6 — 9\) заметим, что \(y^6 = (y^3)^2\), а \(9 = 3^2\). Это разность квадратов с \(A = y^3\), \(B = 3\).

Применяем формулу разности квадратов и раскладываем как \((y^3 — 3)(y^3 + 3)\).

Такое разложение упрощает работу с выражением.

Итог: \(y^6 — 9 = (y^3 — 3)(y^3 + 3)\).

ж) Выражение \(x^{10} — 25\) можно представить как \((x^5)^2 — 5^2\). Это разность квадратов с \(A = x^5\), \(B = 5\).

Используем формулу разности квадратов и раскладываем на множители: \((x^5 — 5)(x^5 + 5)\).

Такое разложение облегчает дальнейшие вычисления.

Итог: \(x^{10} — 25 = (x^5 — 5)(x^5 + 5)\).

з) В выражении \(9 — b^4\) заметим, что \(9 = 3^2\), а \(b^4 = (b^2)^2\). Значит, это разность квадратов с \(A = 3\), \(B = b^2\).

Применяем формулу разности квадратов и раскладываем как \((3 — b^2)(3 + b^2)\).

Это разложение упрощает работу с выражением.

Итог: \(9 — b^4 = (3 — b^2)(3 + b^2)\).