ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 848 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(x^2 — y^2\);

б) \(y^2 — x^2\);

в) \(a^2 — 9\);

г) \(16 — b^2\);

д) \(x^2 — 1\);

е) \(1 — a^2\);

ж) \(a^2 — 0,01\);

з) \(\frac{4}{9} — x^2\).

а) \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\) по формуле разности квадратов.

б) \(y^2 — x^2 = (y — x)(y + x)\) по формуле разности квадратов.

в) \(a^2 — 9 = a^2 — 3^2 = (a — 3)(a + 3)\) разность квадратов.

г) \(16 — b^2 = 4^2 — b^2 = (4 — b)(4 + b)\) разность квадратов.

д) \(x^2 — 1 = x^2 — 1^2 = (x — 1)(x + 1)\) разность квадратов.

е) \(1 — a^2 = 1^2 — a^2 = (1 — a)(1 + a)\) разность квадратов.

ж) \(a^2 — 0,01 = a^2 — (0,1)^2 = (a — 0,1)(a + 0,1)\) разность квадратов.

з) \(\frac{4}{9} — x^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 — x^2 = \left(\frac{2}{3} — x\right)\left(\frac{2}{3} + x\right)\) разность квадратов.

а) Выражение \(x^2 — y^2\) представляет собой разность квадратов двух выражений \(x\) и \(y\). Формула разности квадратов гласит, что для любых чисел или выражений \(A\) и \(B\) верно равенство \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\). В нашем случае \(A = x\), \(B = y\), поэтому \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Это позволяет разложить исходное выражение на произведение двух множителей, что часто упрощает вычисления и решения уравнений.

б) В выражении \(y^2 — x^2\) ситуация аналогична предыдущей, только меняются местами переменные \(x\) и \(y\). Используя ту же формулу разности квадратов, получаем \(y^2 — x^2 = (y — x)(y + x)\). Важно отметить, что порядок вычитания влияет на знак первого множителя, но сама формула остается той же. Это разложение помогает упростить выражение и найти его корни.

в) Рассмотрим \(a^2 — 9\). Число 9 можно представить как \(3^2\), тогда выражение принимает вид \(a^2 — 3^2\). По формуле разности квадратов это равно \((a — 3)(a + 3)\). Такое разложение полезно при решении уравнений, где нужно найти значения \(a\), при которых выражение обращается в ноль.

г) В выражении \(16 — b^2\) число 16 равно \(4^2\), следовательно, \(16 — b^2 = 4^2 — b^2\). Применяя формулу разности квадратов, получаем \((4 — b)(4 + b)\). Это разложение показывает, как можно представить разность квадратов в виде произведения двух линейных множителей, что упрощает дальнейшую работу с выражением.

д) Выражение \(x^2 — 1\) можно переписать как \(x^2 — 1^2\). По формуле разности квадратов это равно \((x — 1)(x + 1)\). Такое разложение часто используется при решении уравнений и упрощении алгебраических выражений.

е) В выражении \(1 — a^2\) число 1 представлено как \(1^2\), поэтому \(1 — a^2 = 1^2 — a^2\). Применяя формулу разности квадратов, получаем \((1 — a)(1 + a)\). Это позволяет упростить выражение и использовать его в различных алгебраических преобразованиях.

ж) Рассмотрим \(a^2 — 0,01\). Число 0,01 можно записать как \(0,1^2\), поэтому \(a^2 — 0,01 = a^2 — 0,1^2\). По формуле разности квадратов это равно \((a — 0,1)(a + 0,1)\). Такое разложение полезно при работе с выражениями, содержащими десятичные дроби.

з) Выражение \(\frac{4}{9} — x^2\) можно представить как \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 — x^2\), так как \(\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2\). Тогда по формуле разности квадратов получаем \(\left(\frac{2}{3} — x\right)\left(\frac{2}{3} + x\right)\). Это разложение удобно для дальнейших алгебраических преобразований и решения уравнений.