ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 846 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители трёхчлен:

а) \(a^2 + 5ab + 4b^2\);

б) \(c^2 — 4cb + 3b^2\);

в) \(b^2 + 5b + 6\);

г) \(c^2 — 7c + 12\).

Образец. Разложим на множители многочлен \(2x^2 + 5xy + 2y^2\).

Чтобы применить группировку, разобьём слагаемое \(5xy\) на два одночлена: \(xy\) и \(4xy\). Получим

\(2x^2 + 5xy + 2y^2 = 2x^2 + xy + 4xy + 2y^2 = x(2x + y) + 2y(2x + y) =\)
\(= (2x + y)(x + 2y)\).

а) \(a^2 + 5ab + 4b^2 = a^2 + ab + 4ab + 4b^2 = a(a + b) + 4b(a + b) =\)
\(= (a + b)(a + 4b)\).

б) \(c^2 — 4cb + 3b^2 = c^2 — 3cb — cb + 3b^2 = c(c — 3b) — b(c — 3b) =\)
\(= (c — 3b)(c — b)\).

в) \(b^2 + 5b + 6 = b^2 + 2b + 3b + 6 = b(b + 2) + 3(b + 2) = (b + 2)(b + 3)\).

г) \(c^2 — 7c + 12 = c^2 — 3c — 4c + 12 = c(c — 3) — 4(c — 3) =\)
\(= (c — 3)(c — 4)\).

а) Рассмотрим многочлен \(a^2 + 5ab + 4b^2\). Чтобы разложить его на множители, нужно найти такие выражения, произведение которых даст исходный многочлен. Для этого разбиваем средний член \(5ab\) на сумму двух слагаемых \(ab\) и \(4ab\), так чтобы можно было сгруппировать выражение по общим множителям: \(a^2 + ab + 4ab + 4b^2\). Теперь группируем первые два и последние два слагаемых: \(a(a + b) + 4b(a + b)\). Здесь видно, что в обеих группах есть общий множитель \((a + b)\), который выносим за скобки. В итоге получаем произведение двух выражений: \((a + b)(a + 4b)\).

б) Для многочлена \(c^2 — 4cb + 3b^2\) аналогично разбиваем средний член \(-4cb\) на два слагаемых \(-3cb\) и \(-cb\). Записываем: \(c^2 — 3cb — cb + 3b^2\). Теперь сгруппируем так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель: \(c(c — 3b) — b(c — 3b)\). Видно, что в обеих группах есть общий множитель \((c — 3b)\). Выносим его за скобки и получаем разложение: \((c — 3b)(c — b)\).

в) Многочлен \(b^2 + 5b + 6\) раскладывается на множители путем разбиения среднего члена \(5b\) на сумму \(2b + 3b\). Записываем: \(b^2 + 2b + 3b + 6\). Группируем слагаемые: \(b(b + 2) + 3(b + 2)\). В обеих группах есть общий множитель \((b + 2)\), который выносим за скобки. Итоговое разложение: \((b + 2)(b + 3)\).

г) Для многочлена \(c^2 — 7c + 12\) разбиваем средний член \(-7c\) на \(-3c\) и \(-4c\). Записываем: \(c^2 — 3c — 4c + 12\). Группируем: \(c(c — 3) — 4(c — 3)\). Общий множитель \((c — 3)\) выносим за скобки. Получаем разложение: \((c — 3)(c — 4)\).