ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 845 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(xy(x — y) — xz(y — z) — xz(x — y) + yz(y — z)\);

б) \((a — x)(x — y)(y + x + a) — (y — x)(x — a)(y — x — a)\).

а) \(xy(x — y) — xz(y — z) — xz(x — y) + yz(y — z) =\)
\(= (x — y)(xy — xz) + (y — z)(yz — xz) =\)
\(= x(x — y)(y — z) + z(y — z)(y — x) =\)
\(= x(x — y)(y — z) — z(y — z)(x — y) = (x — y)(y — z)(x — z)\).

б) \((a — x)(x — y)(y + x + a) — (y — x)(x — a)(y — x — a) =\)
\(= (a — x)(x — y)(y + x + a) — (x — y)(a — x)(y — x — a) =\)
\(= (a — x)(x — y)((y + x + a) — (y — x — a)) =\)
\(= (a — x)(x — y)(2x + 2a) = 2(a — x)(x — y)(a + x)\).

а) Рассмотрим выражение \(xy(x — y) — xz(y — z) — xz(x — y) + yz(y — z)\). Сначала сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить общие множители: \(xy(x — y) — xz(x — y)\) и \(- xz(y — z) + yz(y — z)\). В первых двух слагаемых можно вынести общий множитель \((x — y)\), получим \((x — y)(xy — xz)\). Во второй группе слагаемых вынесем \((y — z)\), получится \((y — z)(yz — xz)\).

Далее упростим выражения внутри скобок. В первом выражении \(xy — xz = x(y — z)\), а во втором \(yz — xz = z(y — x)\). Подставим обратно: \((x — y) \cdot x(y — z) + (y — z) \cdot z(y — x)\). Обратим внимание, что \(y — x = -(x — y)\), следовательно второе слагаемое можно переписать как \(- z(y — z)(x — y)\).

Теперь имеем сумму \((x — y)x(y — z) — (x — y)z(y — z)\). Вынесем общий множитель \((x — y)(y — z)\), получим \((x — y)(y — z)(x — z)\).

б) Рассмотрим выражение \((a — x)(x — y)(y + x + a) — (y — x)(x — a)(y — x — a)\). Заметим, что второе слагаемое можно переписать, поменяв знаки: \((y — x)(x — a)(y — x — a) = — (x — y)(a — x)(y — x — a)\). Тогда исходное выражение становится \((a — x)(x — y)(y + x + a) — [ — (x — y)(a — x)(y — x — a)]\), что равно сумме \((a — x)(x — y)(y + x + a) + (x — y)(a — x)(y — x — a)\).

Вынесем общий множитель \((a — x)(x — y)\), получим \((a — x)(x — y) \big( (y + x + a) + (y — x — a) \big)\). Упростим выражение в скобках: \( (y + x + a) + (y — x — a) = y + x + a + y — x — a = 2y\).

Подставим обратно: \((a — x)(x — y) \cdot 2y = 2y(a — x)(x — y)\). Таким образом, исходное выражение разложено на множители.