ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 844 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) \(ax — a + bx — b + cx — c\);

б) \(ax + bx — ay — by + az + bz\);

в) \(ax — bx — x + ay — by — y\);

г) \(2a^2 — a + 2ab — b — 2ac + c\);

д) \(a^5 — a^4b + a^3b^2 — a^2b^3 + ab^4 — b^5\);

е) \(px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2\).

Подсказка. Можно группировать как по два, так и по три слагаемых.

а) Группируем по \( (x-1) \):
\(ax — a + bx — b + cx — c = a(x-1) + b(x-1) + c(x-1) =\)
\(= (x-1)(a+b+c)\).

б) Группируем по \( (a+b) \):
\(ax + bx — ay — by + az + bz = x(a+b) — y(a+b) + z(a+b) =\)
\(= (a+b)(x — y + z)\).

в) Группируем по \( (a-b-1) \):
\(ax — bx — x + ay — by — y = x(a — b — 1) + y(a — b — 1) =\)
\(= (a — b — 1)(x + y)\).

г) Группируем по \( (a+b-c) \):
\(2a^2 — a + 2ab — b — 2ac + c = 2a(a + b — c) — (a + b — c) =\)
\(= (a + b — c)(2a — 1)\).

д) Вынесем общий множитель:
\(a^5 — a^4b + a^3b^2 — a^2b^3 + ab^4 — b^5 = a^3(a^2 — ab + b^2) — b^3(a^2 — ab + b^2) =\)
\(= (a^2 — ab + b^2)(a^3 — b^3)\).

е) Группируем и раскладываем:
\(px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2 =\)
\(= x(px + q) + qy(q + px) + pq(px + q) = (q + px)(x + qy + pq)\).

а) В выражении \(ax — a + bx — b + cx — c\) можно заметить, что каждое слагаемое содержит либо множитель \(x\), либо константу с минусом. Чтобы упростить выражение, сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель. Заметим, что \(a\), \(b\) и \(c\) повторяются в каждом паре: \(ax — a = a(x-1)\), \(bx — b = b(x-1)\), \(cx — c = c(x-1)\). Таким образом, исходное выражение можно переписать как сумму трёх одинаковых множителей \( (x-1) \), умноженных на разные коэффициенты: \(a\), \(b\) и \(c\). Вынесем общий множитель \( (x-1) \) за скобки, получим \( (x-1)(a + b + c) \).

б) В выражении \(ax + bx — ay — by + az + bz\) заметим, что переменные \(a\) и \(b\) часто встречаются в сумме, а переменные \(x\), \(y\), \(z\) — в разных комбинациях. Чтобы упростить, сгруппируем слагаемые по коэффициентам \(a + b\): \(ax + bx = x(a+b)\), \(-ay — by = -y(a+b)\), \(az + bz = z(a+b)\). Теперь у нас есть три слагаемых с общим множителем \(a+b\), которые можно объединить в скобки: \(x — y + z\). В итоге выражение преобразуется в произведение \((a+b)(x — y + z)\).

в) В выражении \(ax — bx — x + ay — by — y\) можно выделить группы, в которых встречаются одинаковые множители. Рассмотрим отдельно части с \(x\) и с \(y\): \(ax — bx — x = x(a — b — 1)\), \(ay — by — y = y(a — b — 1)\). Видим, что в обеих группах множитель \(a — b — 1\) повторяется. Вынесем его за скобки, тогда выражение примет вид \((a — b — 1)(x + y)\).

г) В выражении \(2a^2 — a + 2ab — b — 2ac + c\) обратим внимание на группы с переменной \(a\) и на отдельные члены. Сгруппируем так: \(2a^2 + 2ab — 2ac = 2a(a + b — c)\), а оставшиеся члены \(-a — b + c\) можно записать как \(-1(a + b — c)\). Теперь у нас есть два слагаемых, где в одном стоит множитель \(2a\), а в другом \(-1\), но оба умножаются на одинаковую скобку \(a + b — c\). Вынесем эту скобку за скобки, получим \((a + b — c)(2a — 1)\).

д) Рассмотрим многочлен \(a^5 — a^4b + a^3b^2 — a^2b^3 + ab^4 — b^5\). Здесь можно заметить, что первые три слагаемых содержат \(a^3\) с разными степенями \(a\) и \(b\), а последние три — \(b^3\) с похожими степенями. Вынесем \(a^3\) из первых трёх слагаемых: \(a^3(a^2 — ab + b^2)\), и \(-b^3\) из последних трёх: \(-b^3(a^2 — ab + b^2)\). Теперь у нас есть разность двух произведений с одинаковым множителем \(a^2 — ab + b^2\). Вынесем этот множитель за скобки, получим \((a^2 — ab + b^2)(a^3 — b^3)\).

е) В выражении \(px^2 + qx + q^2y + pqxy + p^2qx + pq^2\) заметим, что некоторые слагаемые можно сгруппировать для выделения общих множителей. Перепишем так: \(px^2 + qx = x(px + q)\), \(q^2y + pqxy = qy(q + px)\), \(p^2qx + pq^2 = pq(px + q)\). Теперь видим, что множители \(px + q\) и \(q + px\) равны, а \(qy\) и \(pq\) можно рассматривать как отдельные множители. Перегруппируем выражение как сумму произведений: \(x(px + q) + qy(q + px) + pq(px + q)\). Вынесем общий множитель \(q + px\) (равный \(px + q\)) за скобки, получим \((q + px)(x + qy + pq)\).