ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 842 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:

а) \(a^2 + ad — a — d\);

б) \(y^3 — xy^2 + y — x\);

в) \(3ab — b^2 + 3a^2 — ab\);

г) \(b^2c^2 + c^3 — b^3 — bc\);

д) \(a^3 — 3a^2 + a — 3\);

е) \(8x^3 + 2x^2 + 4x + 1\);

ж) \(6y^2 — 3y + 2ay — a\);

з) \(5a^3c — a^3 + 5bc — b\).

а) Группируем: \(a^2 + ad — a — d = a(a + d) — 1(a + d) = (a + d)(a — 1)\).

б) Группируем: \(y^3 — xy^2 + y — x = y^2(y — x) + 1(y — x) = (y — x)(y^2 + 1)\).

в) Группируем: \(3ab — b^2 + 3a^2 — ab = 3a(b + a) — b(b + a) = (b + a)(3a — b)\).

г) Группируем: \(b^2 c^2 + c^3 — b^3 — bc = c^2(b^2 + c) — b(b^2 + c) = (b^2 + c)(c^2 — b)\).

д) Группируем: \(a^3 — 3a^2 + a — 3 = a^2(a — 3) + 1(a — 3) = (a — 3)(a^2 + 1)\).

е) Группируем: \(8x^3 + 2x^2 + 4x + 1 = 2x^2(4x + 1) + 1(4x + 1) = (4x + 1)(2x^2 + 1)\).

ж) Группируем: \(6y^2 — 3y + 2ay — a = 3y(2y — 1) + a(2y — 1) = (2y — 1)(3y + a)\).

з) Группируем: \(5a^3 c — a^3 + 5bc — b = a^3(5c — 1) + b(5c — 1) = (5c — 1)(a^3 + b)\).

а) Рассмотрим выражение \(a^2 + ad — a — d\). Сначала сгруппируем первые два и последние два слагаемых: \(a^2 + ad\) и \(- a — d\). В первом выражении вынесем общий множитель \(a\), получим \(a(a + d)\). Во втором выражении вынесем общий множитель \(-1\), получим \(-1(a + d)\). Теперь у нас есть сумма двух выражений, каждое из которых содержит множитель \((a + d)\), то есть \(a(a + d) — 1(a + d)\). Вынесем \((a + d)\) за скобки: \((a + d)(a — 1)\). Таким образом, исходный многочлен разложен на множители.

б) В выражении \(y^3 — xy^2 + y — x\) выделим группы: \(y^3 — xy^2\) и \(y — x\). В первой группе вынесем общий множитель \(y^2\), получим \(y^2(y — x)\). Во второй группе общий множитель равен 1, и выражение останется как \(1(y — x)\). Теперь у нас есть сумма двух членов с общим множителем \((y — x)\), то есть \(y^2(y — x) + 1(y — x)\). Вынесем \((y — x)\) за скобки: \((y — x)(y^2 + 1)\). Так мы получили разложение исходного выражения на множители.

в) Рассмотрим выражение \(3ab — b^2 + 3a^2 — ab\). Сгруппируем слагаемые так: \(3ab — ab\) и \(3a^2 — b^2\). В первой группе вынесем общий множитель \(ab\), получим \(ab(3 — 1) = 2ab\), но лучше сгруппировать иначе, чтобы получить общий множитель. Перегруппируем: \(3ab + 3a^2 — b^2 — ab\). Вынесем \(3a\) из первых двух слагаемых: \(3a(b + a)\). Из последних двух слагаемых вынесем \(-b\): \(-b(b + a)\). Теперь у нас есть выражение \(3a(b + a) — b(b + a)\). Вынесем \((b + a)\) за скобки: \((b + a)(3a — b)\). Это и есть разложение на множители.

г) В выражении \(b^2 c^2 + c^3 — b^3 — bc\) сгруппируем первые два и последние два слагаемых: \(b^2 c^2 + c^3\) и \(- b^3 — bc\). В первой группе вынесем \(c^2\), получим \(c^2(b^2 + c)\). Во второй группе вынесем \(-b\), получим \(-b(b^2 + c)\). Теперь выражение принимает вид \(c^2(b^2 + c) — b(b^2 + c)\). Вынесем общий множитель \((b^2 + c)\), получим \((b^2 + c)(c^2 — b)\). Так исходное выражение разложено на множители.

д) Рассмотрим многочлен \(a^3 — 3a^2 + a — 3\). Сгруппируем слагаемые: \(a^3 — 3a^2\) и \(a — 3\). В первой группе вынесем \(a^2\), получим \(a^2(a — 3)\). Во второй группе вынесем 1, получим \(1(a — 3)\). Теперь выражение записывается как \(a^2(a — 3) + 1(a — 3)\). Вынесем общий множитель \((a — 3)\), получим \((a — 3)(a^2 + 1)\). Это разложение на множители.

е) В выражении \(8x^3 + 2x^2 + 4x + 1\) сгруппируем первые два и последние два слагаемых: \(8x^3 + 2x^2\) и \(4x + 1\). В первой группе вынесем \(2x^2\), получим \(2x^2(4x + 1)\). Во второй группе вынесем 1, получим \(1(4x + 1)\). Теперь выражение принимает вид \(2x^2(4x + 1) + 1(4x + 1)\). Вынесем общий множитель \((4x + 1)\), получим \((4x + 1)(2x^2 + 1)\).

ж) Рассмотрим выражение \(6y^2 — 3y + 2ay — a\). Сгруппируем слагаемые: \(6y^2 — 3y\) и \(2ay — a\). В первой группе вынесем \(3y\), получим \(3y(2y — 1)\). Во второй группе вынесем \(a\), получим \(a(2y — 1)\). Теперь выражение записывается как \(3y(2y — 1) + a(2y — 1)\). Вынесем общий множитель \((2y — 1)\), получим \((2y — 1)(3y + a)\).

з) В выражении \(5a^3 c — a^3 + 5bc — b\) сгруппируем слагаемые: \(5a^3 c — a^3\) и \(5bc — b\). В первой группе вынесем \(a^3\), получим \(a^3(5c — 1)\). Во второй группе вынесем \(b\), получим \(b(5c — 1)\). Теперь выражение принимает вид \(a^3(5c — 1) + b(5c — 1)\). Вынесем общий множитель \((5c — 1)\), получим \((5c — 1)(a^3 + b)\).