ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 841 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

РАССУЖДАЕМ Назовите вместо многоточия такое слагаемое, чтобы многочлен можно было разложить на множители:

а) \(ax + bx + ca \ldots\);

б) \(n^3 — 2n^2 + n \ldots\);

в) \(m^2n — m — mn \ldots\);

г) \(mc + c — mb \ldots\).

а) \(ax + bx + ca \ldots = x(a + b) + ca + cb = (a + b)(x + c)\), значит вместо многоточия ставим \(cb\).

б) \(n^3 — 2n^2 + n \ldots = n^2(n — 2) + n — 2 = (n — 2)(n^2 + 1)\), значит вместо многоточия ставим \(-2\).

в) \(m^2 n — m — mn \ldots = (m^2 n — mn) — (m — 1) = (m — 1)(mn — 1)\), значит вместо многоточия ставим \(1\).

г) \(mc + c — mb \ldots = c(m + 1) — b(m + 1) = (m + 1)(c — b)\), значит вместо многоточия ставим \(-b\).

а) Рассмотрим выражение \(ax + bx + ca \ldots\). Первые два слагаемых можно объединить по общему множителю \(x\), получаем \(x(a + b)\). К этому добавим \(ca\), но чтобы разложить выражение на множители, нужно добавить ещё слагаемое, которое позволит выделить общий множитель. Добавим \(cb\), тогда сумма станет \(x(a + b) + ca + cb\). Теперь можно вынести общий множитель \(a + b\), так как \(ca + cb = c(a + b)\). В итоге имеем \(x(a + b) + c(a + b) = (a + b)(x + c)\). Значит, вместо многоточия ставим \(cb\).

б) Рассмотрим многочлен \(n^3 — 2n^2 + n \ldots\). Сначала выделим общий множитель в первых двух слагаемых: \(n^2(n — 2)\). Оставшиеся слагаемые \(n \ldots\) нужно дополнить так, чтобы можно было вынести общий множитель \(n — 2\). Если добавить \(-2\), получим \(n^2(n — 2) + n — 2\). Теперь выражение можно представить как \((n — 2)(n^2 + 1)\), так как \(n^2(n — 2) + (n — 2) = (n — 2)(n^2 + 1)\). Следовательно, вместо многоточия ставим \(-2\).

в) Рассмотрим выражение \(m^2 n — m — mn \ldots\). Разобьём на две части: \((m^2 n — mn)\) и \(-(m — 1)\). В первой части можно вынести общий множитель \(mn\), получим \(mn(m — 1)\). Во второй части уже стоит \(-(m — 1)\). Таким образом, выражение становится \(mn(m — 1) — (m — 1)\). Теперь можно вынести общий множитель \(m — 1\): \((m — 1)(mn — 1)\). Значит, чтобы получить такое разложение, вместо многоточия ставим \(1\).

г) Рассмотрим выражение \(mc + c — mb \ldots\). В первых двух слагаемых можно вынести общий множитель \(c\), получим \(c(m + 1)\). В третьем слагаемом стоит \(-mb\), а после многоточия добавим \(-b\). Тогда сумма последних двух слагаемых будет \(-mb — b = -b(m + 1)\). Теперь выражение принимает вид \(c(m + 1) — b(m + 1) = (m + 1)(c — b)\). Значит, вместо многоточия ставим \(-b\).