ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 838 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите многочлен на множители, группируя одночлены разными способами:

а) \(xy + xz + 6y + 6z\);

б) \(4a + 4b + bx + ax\);

в) \(cb + 3a + 3b + ac\);

г) \(cd + 2b + bd + 2c\).

а) \(xy + xz + 6y + 6z = (xy + xz) + (6y + 6z) = x(y + z) + 6(y + z) =\)
\(= (y + z)(x + 6)\)

\(xy + xz + 6y + 6z = (xy + 6y) + (xz + 6z) = y(x + 6) + z(x + 6) =\)
\(= (x + 6)(y + z)\)

б) \(4a + 4b + bx + ax = (4a + 4b) + (bx + ax) = 4(a + b) + x(a + b) =\)
\(= (a + b)(4 + x)\)

\(4a + 4b + bx + ax = (4a + ax) + (4b + bx) = a(4 + x) + b(4 + x) =\)
\(= (4 + x)(a + b)\)

в) \(cb + 3a + 3b + ac = (cb + ac) + (3a + 3b) = c(a + b) + 3(a + b) =\)
\(= (a + b)(c + 3)\)

\(cb + 3a + 3b + ac = (cb + 3b) + (ac + 3a) = b(c + 3) + a(c + 3) =\)
\(= (c + 3)(b + a)\)

г) \(cd + 2b + bd + 2c = (cd + bd) + (2b + 2c) = d(c + b) + 2(c + b) =\)
\(= (c + b)(d + 2)\)

\(cd + 2b + bd + 2c = (cd + 2c) + (2b + bd) = c(d + 2) + b(2 + d) =\)
\(= (d + 2)(c + b)\)

а) Для разложения многочлена \(xy + xz + 6y + 6z\) сначала сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель. Рассмотрим сумму первых двух слагаемых \(xy + xz\) и последних двух \(6y + 6z\). В каждой группе можно вынести общий множитель: из первой — \(x\), из второй — \(6\). Получаем выражение \(x(y + z) + 6(y + z)\). Теперь видно, что в обеих частях стоит одинаковый множитель \(y + z\). Вынесем его за скобки, что даёт разложение на множители: \((y + z)(x + 6)\).

Аналогично можно сгруппировать слагаемые по-другому: возьмём \(xy + 6y\) и \(xz + 6z\). В первой группе общий множитель \(y\), во второй — \(z\). Запишем как \(y(x + 6) + z(x + 6)\). Теперь общий множитель — \(x + 6\), который выносим за скобки, получая \((x + 6)(y + z)\). Таким образом, многочлен можно разложить двумя способами, оба приводят к одинаковому результату.

б) В многочлене \(4a + 4b + bx + ax\) применим группировку с целью выделить общий множитель. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: \((4a + 4b) + (bx + ax)\). В первой группе общий множитель \(4\), во второй — \(x\). Запишем как \(4(a + b) + x(b + a)\). Поскольку \(a + b = b + a\), общий множитель — \(a + b\), выносим его за скобки: \((a + b)(4 + x)\).

Другой способ — сгруппировать по-другому: \((4a + ax) + (4b + bx)\). В первой группе общий множитель \(a\), во второй — \(b\). Запишем как \(a(4 + x) + b(4 + x)\). Теперь общий множитель — \(4 + x\), выносим его за скобки, получая \((4 + x)(a + b)\). Оба способа приводят к одному и тому же разложению.

в) Рассмотрим многочлен \(cb + 3a + 3b + ac\). Сгруппируем слагаемые так: \((cb + ac) + (3a + 3b)\). В первой группе общий множитель \(c\), во второй — \(3\). Запишем как \(c(b + a) + 3(a + b)\). Поскольку \(a + b = b + a\), общий множитель — \(a + b\), выносим его за скобки: \((a + b)(c + 3)\).

Другой вариант группировки: \((cb + 3b) + (ac + 3a)\). В первой группе общий множитель \(b\), во второй — \(a\). Запишем как \(b(c + 3) + a(c + 3)\). Теперь общий множитель — \(c + 3\), выносим его за скобки, получая \((c + 3)(b + a)\). В обоих случаях разложение совпадает.

г) Для многочлена \(cd + 2b + bd + 2c\) сгруппируем слагаемые следующим образом: \((cd + bd) + (2b + 2c)\). В первой группе общий множитель \(d\), во второй — \(2\). Запишем как \(d(c + b) + 2(b + c)\). Поскольку \(b + c = c + b\), общий множитель — \(c + b\), выносим его за скобки: \((c + b)(d + 2)\).

Другой способ группировки: \((cd + 2c) + (bd + 2b)\). В первой группе общий множитель \(c\), во второй — \(b\). Запишем как \(c(d + 2) + b(d + 2)\). Теперь общий множитель — \(d + 2\), выносим его за скобки, получая \((d + 2)(c + b)\). Оба способа дают одно и то же разложение.