ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 835 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

ДОКАЗЫВАЕМ Проиллюстрируйте каждое из данных утверждений конкретным примером и докажите его:
а) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом;
б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6;
в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.

а) \(n^2 — n = n(n-1)\) — произведение двух последовательных чисел, одно из которых чётное, значит результат чётный.
Пример: \(n = 7\); \(7^2 — 7 = 7 \cdot 6 = 42\) — чётное число.

б) \(2^n + 2^{n+1} = 2^n (1 + 2) = 3 \cdot 2^n\), делится на 6, так как содержит множители 2 и 3.
Пример: \(n = 3\); \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), делится на 6.

в) \(x^n + x^{n+1} = x^n (1 + x)\), делится на \(x + 1\), так как содержит этот множитель.
Пример: \(x = 3, n = 2\); \(3^2 + 3^3 = 9 + 27 = 36\), делится на \(3 + 1 = 4\).

а) Рассмотрим выражение \(n^2 — n\). Его можно представить в виде произведения двух последовательных чисел: \(n(n-1)\). Известно, что среди любых двух последовательных натуральных чисел обязательно есть чётное число, так как чётные и нечётные числа чередуются. Следовательно, произведение \(n(n-1)\) всегда содержит множитель 2, что делает результат чётным числом. Это универсальное свойство для всех натуральных чисел \(n\).

Для примера возьмём \(n = 7\). Тогда \(7^2 — 7 = 49 — 7 = 42\). Перепишем это как \(7 \cdot 6 = 42\). Поскольку \(6\) — чётное число, произведение делится на 2, а значит 42 — чётное число. Таким образом, на конкретном примере видно, что утверждение работает.

В общем случае, если \(n\) чётное, то \(n\) делится на 2, и произведение делится на 2. Если \(n\) нечётное, то \(n-1\) — чётное, и произведение также делится на 2. Следовательно, разность \(n^2 — n\) всегда чётна.

б) Рассмотрим сумму двух последовательных степеней двойки: \(2^n + 2^{n+1}\). Это выражение можно представить как \(2^n + 2 \cdot 2^n = 2^n (1 + 2) = 3 \cdot 2^n\). Здесь видно, что сумма содержит множители 3 и \(2^n\).

Чтобы доказать делимость на 6, нужно показать, что число делится на 2 и на 3. Множитель \(2^n\) гарантирует делимость на 2 при любом \(n \geq 1\), а множитель 3 обеспечивает делимость на 3. Следовательно, сумма \(2^n + 2^{n+1}\) делится на 6 для всех натуральных \(n\).

Пример: при \(n = 3\) вычисляем \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\). Число 24 делится на 6, так как \(24 : 6 = 4\). Это подтверждает общее правило на конкретном примере.

в) Рассмотрим сумму двух последовательных степеней произвольного натурального числа \(x\): \(x^n + x^{n+1}\). Это выражение можно переписать как \(x^n (1 + x)\). Здесь видно, что сумма содержит множитель \(1 + x\), который равен \(x + 1\).

Так как \(x + 1\) — множитель выражения, вся сумма делится на \(x + 1\). Это утверждение справедливо для любого натурального числа \(x\) и любого натурального \(n\).

Для примера возьмём \(x = 3\) и \(n = 2\). Тогда \(3^2 + 3^3 = 9 + 27 = 36\). Следующее за 3 число — 4, и 36 делится на 4, так как \(36 : 4 = 9\). Это подтверждает делимость суммы на число, следующее за \(x\).