ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 832 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Преобразуйте в многочлен, применяя вынесение общего множителя за скобки:

а) \((b — 1)(b + 2) — (b — 2)(b + 2) + (b — 3)(b + 2) — (b — 4)(b + 2)\);

б) \((x + y)(x + 1) — (x + y)(1 — y) — (x + y)(x — y)\).

а) Вынесем \( (b+2) \):
\((b-1)(b+2)-(b-2)(b+2)+(b-3)(b+2)-(b-4)(b+2) =\)
\(= (b+2)((b-1)-(b-2)+(b-3)-(b-4))\).
Упростим скобки:
\((b-1)-(b-2)+(b-3)-(b-4) = b-1 — b + 2 + b — 3 — b + 4 = 2\).
Ответ: \( (b+2) \cdot 2 = 2b + 4 \).

б) Вынесем \( (x+y) \):
\((x+y)(x+1) — (x+y)(1-y) — (x+y)(x-y) =\)
\(= (x+y)((x+1) — (1-y) — (x-y))\).
Упростим скобки:
\((x+1) — (1-y) — (x-y) = x + 1 — 1 + y — x + y = 2y\).
Ответ: \( (x+y) \cdot 2y = 2y^2 + 2xy \).

а) Рассмотрим выражение \( (b-1)(b+2) — (b-2)(b+2) + (b-3)(b+2) — (b-4)(b+2) \). В нем все слагаемые содержат общий множитель \( (b+2) \). Чтобы упростить выражение, вынесем этот множитель за скобки. Получим \( (b+2) \big((b-1) — (b-2) + (b-3) — (b-4)\big) \). Таким образом, задача сводится к вычислению выражения в круглых скобках.

Теперь раскроем скобки внутри выражения: \( (b-1) — (b-2) + (b-3) — (b-4) = b — 1 — b + 2 + b — 3 — b + 4 \). Здесь важно внимательно сложить и вычесть все члены, учитывая знаки перед скобками. При упрощении переменные \( b \) сокращаются: \( b — b + b — b = 0 \), а числовые значения складываются: \( -1 + 2 — 3 + 4 = 2 \). Таким образом, внутренняя часть равна 2.

Подставляем это обратно, получая \( (b+2) \cdot 2 \). Умножение дает результат \( 2b + 4 \). Таким образом, исходное выражение свелось к простому многочлену, где переменная \( b \) умножается на 2, а затем прибавляется 4.

б) Рассмотрим выражение \( (x+y)(x+1) — (x+y)(1-y) — (x+y)(x-y) \). Здесь можно заметить, что каждый из трех членов содержит общий множитель \( (x+y) \). Вынесем его за скобки, что дает \( (x+y) \big((x+1) — (1-y) — (x-y)\big) \). Теперь задача сводится к упрощению выражения в скобках.

Раскроем скобки внутри: \( (x+1) — (1-y) — (x-y) = x + 1 — 1 + y — x + y \). Обратите внимание, что минусы перед скобками меняют знаки всех членов внутри них. После упрощения переменные \( x \) сокращаются: \( x — x = 0 \), а числа и \( y \) складываются: \( 1 — 1 = 0 \), \( y + y = 2y \). Таким образом, внутренняя часть равна \( 2y \).

Подставим обратно: \( (x+y) \cdot 2y \). Раскроем скобки: \( 2y \cdot x + 2y \cdot y = 2xy + 2y^{2} \). Таким образом, исходное выражение преобразовалось в сумму двух членов, где один содержит произведение переменных \( x \) и \( y \), а другой — квадрат переменной \( y \), умноженный на 2.