ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 831 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(2(x — y) + (x — y)^2\);

б) \((a + b)^2 — (a + b)(a — b)\);

в) \(x(x — y)^2 — y(y — x)^2\);

г) \((x — y) + x(y — x)\);

д) \(n(m — n)^2 — (n — m)^3\);

е) \(a(a — c)^2 — c(a — c)(c — a)\).

а) Вынесем общий множитель \( (x — y) \):
\( 2(x — y) + (x — y)^2 = (x — y)(2 + x — y) \).

б) Вынесем общий множитель \( (a + b) \):
\( (a + b)^2 — (a + b)(a — b) = (a + b)(2b) = 2b(a + b) \).

в) Используем \( (y — x)^2 = (x — y)^2 \):
\( x(x — y)^2 — y(y — x)^2 = (x — y)^3 \).

г) Подставим \( y — x = -(x — y) \):
\( (x — y) + x(y — x) = (x — y)(1 — x) \).

д) Преобразуем \( (n — m)^3 = -(m — n)^3 \), вынесем \( (m — n)^2 \):
\( n(m — n)^2 — (n — m)^3 = m(n — m)^2 \).

е) Подставим \( c — a = -(a — c) \), вынесем \( (a — c)^2 \):
\( a(a — c)^2 — c(a — c)(c — a) = (a — c)^2(a + c) \).

а) Рассмотрим выражение \(2(x — y) + (x — y)^2\). Здесь видно, что в обеих слагаемых присутствует общий множитель \(x — y\). Чтобы упростить выражение, нужно вынести этот множитель за скобки. Первое слагаемое можно записать как \(2 \cdot (x — y)\), а второе — как \((x — y) \cdot (x — y)\). Вынесение общего множителя даёт
\( (x — y)(2 + (x — y)) \).
После раскрытия скобок внутри множителя получается \(2 + x — y\), что и даёт окончательный ответ:
\( (x — y)(2 + x — y) \).

б) В выражении \((a + b)^2 — (a + b)(a — b)\) также есть общий множитель — \(a + b\). Вынесем его за скобки:
\( (a + b)((a + b) — (a — b)) \).
Внутри скобок выполним вычитание: \(a + b — a + b = 2b\). Таким образом, выражение сводится к произведению
\( (a + b) \cdot 2b \),
что упрощается до
\( 2b(a + b) \).

в) В выражении \(x(x — y)^2 — y(y — x)^2\) нужно обратить внимание на то, что \((y — x) = -(x — y)\). Возводя в квадрат, знак минус исчезает, поэтому \((y — x)^2 = (x — y)^2\). Тогда выражение можно переписать как
\( x(x — y)^2 — y(x — y)^2 \).
Вынесем общий множитель \((x — y)^2\) за скобки:
\( (x — y)^2 (x — y) \).
Последнее выражение — это \((x — y)^3\), что и является ответом.

г) В выражении \((x — y) + x(y — x)\) заметим, что \(y — x = -(x — y)\). Подставим это:
\( (x — y) + x(- (x — y)) = (x — y) — x(x — y) \).
Вынесем \(x — y\) за скобки:
\( (x — y)(1 — x) \).
Таким образом, исходное выражение преобразовалось в произведение.

д) В выражении \(n(m — n)^2 — (n — m)^3\) обратим внимание, что \((n — m) = -(m — n)\). Тогда куб \((n — m)^3 = -(m — n)^3\). Подставим это:
\( n(m — n)^2 — (-(m — n)^3) = n(m — n)^2 + (m — n)^3 \).
Вынесем общий множитель \((m — n)^2\):
\( (m — n)^2 (n + (m — n)) \).
Внутри скобок упростим:
\( n + m — n = m \).
Итоговое выражение:
\( m(m — n)^2 \).

е) В выражении \(a(a — c)^2 — c(a — c)(c — a)\) заметим, что \(c — a = -(a — c)\). Подставим и упростим:
\( a(a — c)^2 — c(a — c)(-(a — c)) = a(a — c)^2 + c(a — c)^2 \).
Вынесем общий множитель \((a — c)^2\):
\( (a — c)^2 (a + c) \).
Итоговое выражение — это произведение с вынесенным множителем.