ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 828 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:

а) \(6^5 + 6^4\) делится на 7;

б) \(9^4 — 9^3\) делится на 8;

в) \(3^4 + 3^5\) делится на 13;

г) \(2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8\) делится на 5.

а) \(6^5 + 6^4 = 6^4 \cdot (6 + 1) = 6^4 \cdot 7\), делится на 7, так как один из множителей равен 7.

б) \(9^4 — 9^3 = 9^3 \cdot (9 — 1) = 9^3 \cdot 8\), делится на 8, так как один из множителей равен 8.

в) \(3^4 + 3^5 + 3^6 = 3^4 \cdot (1 + 3 + 3^2) = 3^4 \cdot (1 + 3 + 9) = 3^4 \cdot 13\), делится на 13, так как один из множителей равен 13.

г) \(2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 = 2^5 \cdot (1 + 2 + 2^2 + 2^3) = 2^5 \cdot (1 + 2 + 4 + 8) =\)
\(= 2^5 \cdot 15\), делится на 5, так как 15 делится на 5.

а) Выражение \(6^5 + 6^4\) можно представить в виде произведения, вынеся общий множитель \(6^4\): \(6^5 + 6^4 = 6^4 \cdot (6 + 1)\). Внутри скобок находится сумма \(6 + 1 = 7\), то есть выражение равно \(6^4 \cdot 7\). Поскольку число 7 является множителем данного произведения, оно делится на 7 без остатка. Это значит, что всё выражение целиком делится на 7, так как произведение делится на число, если хотя бы один из множителей делится на это число.

б) Рассмотрим разность \(9^4 — 9^3\). Вынесем общий множитель \(9^3\): \(9^4 — 9^3 = 9^3 \cdot (9 — 1)\). В скобках находится разность \(9 — 1 = 8\), значит исходное выражение равно \(9^3 \cdot 8\). Поскольку число 8 входит в произведение, выражение делится на 8. Это подтверждается правилом делимости произведения: если один из множителей делится на число, то и произведение делится на это число.

в) В выражении \(3^4 + 3^5 + 3^6\) вынесем общий множитель \(3^4\): \(3^4 + 3^5 + 3^6 = 3^4 \cdot (1 + 3 + 3^2)\). Внутри скобок вычислим сумму: \(1 + 3 + 9 = 13\). Следовательно, исходное выражение равно \(3^4 \cdot 13\). Так как число 13 является множителем, выражение делится на 13. Это доказывает, что сумма степеней тройки делится на 13.

г) Сумму \(2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8\) можно переписать, вынеся общий множитель \(2^5\): \(2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 = 2^5 \cdot (1 + 2 + 2^2 + 2^3)\). Считаем сумму в скобках: \(1 + 2 + 4 + 8 = 15\). Значит, выражение равно \(2^5 \cdot 15\). Число 15 делится на 5, следовательно, произведение делится на 5. Это означает, что исходная сумма степеней двойки делится на 5.