ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 824 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Вычислите:

а) \(\frac{2^{12} — 2^9}{7 \cdot 2^8}\);

б) \(\frac{2 \cdot 5^{10} — 5^{11}}{6 \cdot 5^{11}}\);

в) \(\frac{3^{12} + 3^{10}}{3^8}\);

г) \(\frac{5^8 + 5^6}{2 \cdot 5^7}\).

а) \( \frac{2^{12} — 2^9}{7 \cdot 2^8} = \frac{2^9 (2^3 — 1)}{7 \cdot 2^8} = \frac{2^9 \cdot 7}{7 \cdot 2^8} = \frac{2^9}{2^8} = 2 \).

б) \( \frac{2 \cdot 5^{10} — 5^{11}}{6 \cdot 5^{11}} = \frac{5^{10} (2 — 5)}{6 \cdot 5^{11}} = \frac{-3 \cdot 5^{10}}{6 \cdot 5^{11}} = \frac{-3}{6 \cdot 5} = -\frac{1}{10} = -0,1 \).

в) \( \frac{3^{12} + 3^{10}}{3^8} = \frac{3^{10} (3^2 + 1)}{3^8} = \frac{3^{10} \cdot 10}{3^8} = 10 \cdot 3^{2} = 90 \).

г) \( \frac{5^8 + 5^6}{2 \cdot 5^7} = \frac{5^6 (5^2 + 1)}{2 \cdot 5^7} = \frac{5^6 \cdot 26}{2 \cdot 5^7} = \frac{26}{2 \cdot 5} = \frac{26}{10} = 2,6 \).

а) Рассмотрим выражение \( \frac{2^{12} — 2^{9}}{7 \cdot 2^{8}} \). В числителе можно вынести общий множитель \( 2^{9} \), так как обе степени имеют одинаковую основу. Получим \( 2^{9} (2^{3} — 1) \), где \( 2^{3} = 8 \), следовательно, \( 2^{3} — 1 = 7 \). Подставляя обратно, числитель равен \( 2^{9} \cdot 7 \). В знаменателе стоит произведение \( 7 \cdot 2^{8} \). При сокращении семерок и степеней двойки получаем \( \frac{2^{9}}{2^{8}} \), что равно \( 2^{9-8} = 2^{1} = 2 \).

б) Для выражения \( \frac{2 \cdot 5^{10} — 5^{11}}{6 \cdot 5^{11}} \) сначала вынесем \( 5^{10} \) в числителе: \( 5^{10} (2 — 5) = 5^{10} \cdot (-3) \). Знаменатель содержит \( 6 \cdot 5^{11} \). При сокращении степеней \( 5^{10} \) и \( 5^{11} \) останется \( 5^{1} \) в знаменателе. Таким образом, дробь упрощается до \( \frac{-3}{6 \cdot 5} \). Делим числитель и знаменатель на 3, получаем \( -\frac{1}{10} \), что равно десятичной дроби \( -0,1 \).

в) В выражении \( \frac{3^{12} + 3^{10}}{3^{8}} \) можно вынести \( 3^{10} \) в числителе: \( 3^{10} (3^{2} + 1) \), где \( 3^{2} = 9 \), значит \( 3^{2} + 1 = 10 \). Подставляем обратно, числитель равен \( 3^{10} \cdot 10 \), а знаменатель \( 3^{8} \). Сокращая степени с одинаковой основой, получаем \( 10 \cdot 3^{10-8} = 10 \cdot 3^{2} = 10 \cdot 9 = 90 \).

г) Для \( \frac{5^{8} + 5^{6}}{2 \cdot 5^{7}} \) вынесем \( 5^{6} \) в числителе: \( 5^{6} (5^{2} + 1) \), где \( 5^{2} = 25 \), значит сумма равна \( 26 \). Числитель становится \( 5^{6} \cdot 26 \), знаменатель — \( 2 \cdot 5^{7} \). При сокращении степеней двойки с основанием 5 останется \( 5^{1} \) в знаменателе. Таким образом, дробь упрощается до \( \frac{26}{2 \cdot 5} = \frac{26}{10} = 2,6 \).