ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 823 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь

а) \(\frac{ay — az}{by — bz}\);

б) \(\frac{a^2 — ab}{ab — b^2}\);

в) \(\frac{ax + 2x}{ay + 2y}\);

г) \(\frac{2c — 8cx}{3a — 12ax}\);

д) \(\frac{an + n^2}{an + a^2}\);

е) \(\frac{a^2 — 2ab + b^2}{3a — 3b}\);

ж) \(\frac{x^2 + xy}{x^2 + 2xy + y^2}\).

3) \(\frac{a^2 — 2ab + b^2}{3a — 3b}\)

а) Вынесем \(y-z\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{ay — az}{by — bz} = \frac{a(y — z)}{b(y — z)} = \frac{a}{b}\).

б) Вынесем \(a-b\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{a^2 — ab}{ab — b^2} = \frac{a(a — b)}{b(a — b)} = \frac{a}{b}\).

в) Вынесем \(x\) и \(y\):
\(\frac{ax + 2x}{ay + 2y} = \frac{x(a + 2)}{y(a + 2)} = \frac{x}{y}\).

г) Вынесем множители:
\(\frac{2c — 8cx}{3a — 12ax} = \frac{2c(1 — 4x)}{3a(1 — 4x)} = \frac{2c}{3a}\).

д) Вынесем \(n\) и \(a\):
\(\frac{an + n^2}{an + a^2} = \frac{n(a + n)}{a(n + a)} = \frac{n}{a}\).

е) Преобразуем числитель и вынесем 3:
\(\frac{a^2 — 2ab + b^2}{3a — 3b} = \frac{(a — b)^2}{3(a — b)} = \frac{a — b}{3}\).

ж) Вынесем и сократим:
\(\frac{x^2 + xy}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{x(x + y)}{(x + y)^2} = \frac{x}{x + y}\).

3) \(\frac{a^2 — 2ab + b^2}{3a — 3b} = \frac{(a — b)^2}{3(a — b)} = \frac{a — b}{3}\).

а) Рассмотрим выражение \(\frac{ay — az}{by — bz}\). В числителе и знаменателе есть общий множитель, который можно вынести за скобки. В числителе это \(a\), а также разность \(y — z\), так как оба слагаемых содержат \(y\) и \(z\) с одинаковыми знаками, но с разными коэффициентами. Аналогично в знаменателе можно вынести множитель \(b\) и разность \(y — z\). Таким образом, выражение преобразуется к виду \(\frac{a(y — z)}{b(y — z)}\).

Далее, учитывая, что \(y \neq z\), чтобы знаменатель не был равен нулю, можно сократить числитель и знаменатель на общий множитель \(y — z\). В результате остается \(\frac{a}{b}\). Это сокращение возможно только при условии, что \(y — z \neq 0\), иначе исходное выражение не определено.

Таким образом, исходная дробь упрощается до \(\frac{a}{b}\), что является более простой формой и позволяет легче работать с выражением в дальнейшем.

б) В выражении \(\frac{a^2 — ab}{ab — b^2}\) сначала заметим, что и в числителе, и в знаменателе можно вынести общий множитель. В числителе это \(a\), так как \(a^2 = a \cdot a\) и \(ab = a \cdot b\). В знаменателе вынесем \(b\), так как \(ab = a \cdot b\) и \(b^2 = b \cdot b\).

После вынесения множителей получаем \(\frac{a(a — b)}{b(a — b)}\). Здесь видно, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель \(a — b\). При условии, что \(a \neq b\), можно сократить дробь на этот множитель, что приводит к упрощению до \(\frac{a}{b}\).

Такое сокращение позволяет избавиться от сложных выражений и получить более компактную форму, которая удобна для дальнейших вычислений или подстановок.

в) Для дроби \(\frac{ax + 2x}{ay + 2y}\) заметим, что в числителе можно вынести общий множитель \(x\), так как оба слагаемых содержат его. Аналогично в знаменателе можно вынести \(y\). В результате получаем \(\frac{x(a + 2)}{y(a + 2)}\).

Теперь видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель \(a + 2\). При условии, что \(a \neq -2\), чтобы не делить на ноль, можно сократить эту часть выражения. После сокращения остается \(\frac{x}{y}\).

Такое упрощение облегчает работу с выражением и делает его более прозрачным, позволяя легче видеть зависимость от переменных \(x\) и \(y\).

г) В дроби \(\frac{2c — 8cx}{3a — 12ax}\) вынесем общий множитель в числителе — это \(2c\), а в знаменателе — \(3a\). При этом в числителе остается выражение \(1 — 4x\), а в знаменателе — \(1 — 4x\).

Получаем \(\frac{2c(1 — 4x)}{3a(1 — 4x)}\). При условии, что \(1 — 4x \neq 0\), то есть \(x \neq \frac{1}{4}\), можно сократить на этот множитель. В итоге выражение упрощается до \(\frac{2c}{3a}\).

Это упрощение позволяет избавиться от сложных множителей и получить более простую форму, удобную для дальнейшего использования.

д) Рассмотрим \(\frac{an + n^2}{an + a^2}\). В числителе можно вынести множитель \(n\), так как \(an = a \cdot n\) и \(n^2 = n \cdot n\). В знаменателе вынесем \(a\), так как \(an = a \cdot n\) и \(a^2 = a \cdot a\).

Получаем \(\frac{n(a + n)}{a(n + a)}\). Поскольку сложение коммутативно, \(a + n = n + a\), множители в скобках одинаковы и могут быть сокращены при условии, что \(a + n \neq 0\).

После сокращения остается \(\frac{n}{a}\), что значительно упрощает исходное выражение и облегчает работу с ним.

е) В выражении \(\frac{a^2 — 2ab + b^2}{3a — 3b}\) числитель представляет собой полный квадрат разности, то есть \((a — b)^2\). В знаменателе можно вынести общий множитель 3, получив \(3(a — b)\).

Таким образом, выражение переписывается как \(\frac{(a — b)^2}{3(a — b)}\). При условии, что \(a \neq b\), сокращаем на \(a — b\), получая \(\frac{a — b}{3}\).

Это упрощение позволяет перейти от квадратичного выражения к линейному, что значительно упрощает анализ и вычисления.

ж) В дроби \(\frac{x^2 + xy}{x^2 + 2xy + y^2}\) в числителе вынесем общий множитель \(x\), а в знаменателе распознаем полный квадрат суммы: \(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\).

Таким образом, выражение становится \(\frac{x(x + y)}{(x + y)^2}\). При условии, что \(x + y \neq 0\), сокращаем на \(x + y\), получая \(\frac{x}{x + y}\).

Это упрощение избавляет от сложных степеней и делает выражение более компактным и удобным для дальнейшего использования.

3) Выражение \(\frac{a^2 — 2ab + b^2}{3a — 3b}\) можно упростить, заметив, что числитель — это полный квадрат разности: \(a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2\).

В знаменателе вынесем общий множитель: \(3a — 3b = 3(a — b)\).

После этого дробь принимает вид \(\frac{(a — b)^2}{3(a — b)}\). Сокращая на \((a — b)\), получаем \(\frac{a — b}{3}\).