ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 809 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен 38 см. Если одну из его сторон увеличить на 5 см, а другую уменьшить на 3 см, то площадь полученного прямоугольника будет больше площади данного прямоугольника на 16 см². Найдите стороны данного прямоугольника.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) см, тогда вторая сторона равна \( 19 — x \) см.

Если увеличить первую сторону на 5 см, а вторую уменьшить на 3 см, то новые стороны будут \( x + 5 \) и \( 16 — x \) см.

Площадь нового прямоугольника будет больше площади исходного на 16 см², значит составляем уравнение:

\((x + 5)(16 — x) — x(19 — x) = 16\)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(16x — x^2 + 80 — 5x — 19x + x^2 = 16\)

\(-8x + 80 = 16\)

Решаем уравнение:

\(-8x = 16 — 80\)

\(-8x = -64\)

\(x = 8\)

Ширина прямоугольника \(8\) см, длина \(19 — 8 = 11\) см.

Ответ: 8 см и 11 см.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) сантиметров. Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника равен 38 сантиметров. Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон, а так как у прямоугольника противоположные стороны равны, то периметр равен удвоенной сумме двух соседних сторон. Следовательно, если одна сторона — \( x \), то другая сторона равна \( y \), и выполняется равенство \( 2(x + y) = 38 \). Отсюда можно выразить сумму сторон: \( x + y = 19 \). Это означает, что вторая сторона равна \( y = 19 — x \). Таким образом, мы выразили обе стороны прямоугольника через одну переменную \( x \), что значительно упрощает решение задачи.

Далее по условию, если увеличить одну сторону на 5 сантиметров, а другую уменьшить на 3 сантиметра, то площадь нового прямоугольника будет больше площади исходного на 16 квадратных сантиметров. Увеличенная сторона будет равна \( x + 5 \), а уменьшенная — \( y — 3 \). Подставляя выражение для \( y \), получаем: \( y — 3 = 19 — x — 3 = 16 — x \). Теперь можно записать площади исходного и нового прямоугольников. Площадь исходного равна произведению сторон: \( S_1 = x \cdot y = x (19 — x) = 19x — x^{2} \). Площадь нового прямоугольника равна произведению новых сторон: \( S_2 = (x + 5)(16 — x) \). Раскроем скобки: \( S_2 = 16x — x^{2} + 80 — 5x = 11x — x^{2} + 80 \).

Согласно условию задачи, площадь нового прямоугольника больше площади исходного на 16 квадратных сантиметров, то есть разность площадей равна 16: \( S_2 — S_1 = 16 \). Подставим выражения для площадей: \( (11x — x^{2} + 80) — (19x — x^{2}) = 16 \). Упростим выражение, раскрывая скобки и сокращая одинаковые члены: \( 11x — x^{2} + 80 — 19x + x^{2} = 16 \). Здесь члены \( -x^{2} \) и \( +x^{2} \) взаимно уничтожаются, остается: \( 11x — 19x + 80 = 16 \), что упрощается до \( -8x + 80 = 16 \).

Теперь решим полученное уравнение относительно \( x \). Переносим число 80 в правую часть со знаком минус: \( -8x = 16 — 80 \), что даёт \( -8x = -64 \). Делим обе части уравнения на -8: \( x = \frac{-64}{-8} = 8 \). Таким образом, первая сторона прямоугольника равна 8 сантиметрам. Теперь найдём вторую сторону: \( y = 19 — x = 19 — 8 = 11 \) сантиметров. Проверим, что эти значения удовлетворяют условию задачи: исходная площадь равна \( 8 \cdot 11 = 88 \) см^{2}, новая площадь равна \( (8 + 5)(11 — 3) = 13 \cdot 8 = 104 \) см^{2}, разница равна \( 104 — 88 = 16 \) см^{2}, что совпадает с условием.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 11 см.