ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 807 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Телевизионный экран имеет прямоугольную форму. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Если меньшую сторону увеличить на 1 см, а большую — на 2 см, то площадь изображения увеличится на 65 см². Найдите первоначальные размеры телевизионного экрана.

Пусть длина телевизора \( x \) см, тогда ширина \( x — 6 \) см.

Если увеличить ширину на 1 см, она станет \( x — 5 \), а длину увеличить на 2 см, получится \( x + 2 \).

Площадь увеличится на 65 см², значит:
\((x — 5)(x + 2) — x(x — 6) = 65\)

Раскроем скобки:
\(x^2 + 2x — 5x — 10 — x^2 + 6x = 65\)

Сократим и упростим:
\(3x — 10 = 65\)

Решим уравнение:
\(3x = 75\)
\(x = 25\)

Длина телевизора \(25\) см, ширина \(25 — 6 = 19\) см.

Ответ: 25 см и 19 см.

Пусть длина телевизора равна \( x \) сантиметров. Это переменная, которую мы хотим найти. Согласно условию, ширина телевизора меньше длины на 6 сантиметров, поэтому ширина равна \( x — 6 \) сантиметров. Таким образом, первоначальные размеры телевизора — это длина \( x \) и ширина \( x — 6 \). Эти данные важны, так как они задают исходные параметры прямоугольного экрана, площадь которого мы будем анализировать.

Далее в условии говорится, что если ширину увеличить на 1 сантиметр, она станет \( x — 6 + 1 = x — 5 \) сантиметров. Одновременно длину увеличивают на 2 сантиметра, и новая длина становится \( x + 2 \) сантиметров. Эти изменения означают, что размеры телевизора поменялись, и, соответственно, площадь изображения тоже изменилась. По условию, новая площадь больше первоначальной на 65 квадратных сантиметров. Это ключевой момент, который позволяет нам составить уравнение для нахождения \( x \).

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Первоначальная площадь равна \( x \cdot (x — 6) \), то есть \( x(x — 6) \). После увеличения размеров площадь стала равна \( (x — 5)(x + 2) \). Разница между новой и старой площадью равна 65, поэтому можно записать уравнение:
\((x — 5)(x + 2) — x(x — 6) = 65\).
Раскроем скобки в левой части уравнения:
\(x^2 + 2x — 5x — 10 — x^2 + 6x = 65\).
Теперь упростим выражение, сократив одинаковые члены \( x^2 \) и \( -x^2 \), которые взаимно уничтожаются. Остаётся:
\(2x — 5x + 6x — 10 = 65\).
Сложим подобные члены:
\(3x — 10 = 65\).

Решим уравнение относительно \( x \). Перенесём число \(-10\) на правую сторону, изменив знак:
\(3x = 65 + 10\).
Выполним сложение:
\(3x = 75\).
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти \( x \):
\(x = \frac{75}{3} = 25\).
Таким образом, длина телевизора равна 25 сантиметров.

Подставим найденное значение длины в выражение для ширины:
\(x — 6 = 25 — 6 = 19\) сантиметров.
Это и есть ширина телевизора.

Ответ: длина телевизора 25 см, ширина 19 см.