ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 806 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Высота двери на 30 см больше, чем её удвоенная ширина. Чтобы вставить дверь в дверной проём, её сделали короче на 10 см и уже на 5 см. При этом площадь обрезков составила 1900 см². Определите первоначальные размеры двери.

Пусть ширина двери \( x \) см, тогда высота двери \( 2x + 30 \) см. Дверь сделали по высоте \( 2x + 30 — 10 = 2x + 20 \) см, а по ширине \( x — 5 \) см.

Составим уравнение площади обрезков: \( x(2x + 30) — (2x + 20)(x — 5) = 1900 \).

Раскроем скобки: \( 2x^2 + 30x — (2x^2 — 10x + 20x — 100) = 1900 \).

Упростим: \( 2x^2 + 30x — 2x^2 + 10x — 20x + 100 = 1900 \).

Получим: \( 20x + 100 = 1900 \).

Вычислим: \( 20x = 1800 \), значит \( x = 90 \) см — ширина двери.

Высота двери: \( 2 \cdot 90 + 30 = 210 \) см.

Ответ: 90 см и 210 см.

Пусть ширина двери равна \( x \) сантиметров. Согласно условию, высота двери больше удвоенной ширины на 30 сантиметров, то есть высота равна \( 2x + 30 \) сантиметров. Это означает, что если мы возьмём ширину двери и умножим её на 2, а затем прибавим 30, то получим высоту двери. Таким образом, исходные размеры двери — ширина \( x \), высота \( 2x + 30 \).

При изготовлении дверь уменьшили: по высоте её сделали короче на 10 сантиметров, а по ширине — уже на 5 сантиметров. Значит, новая высота стала \( 2x + 30 — 10 = 2x + 20 \) сантиметров, а новая ширина — \( x — 5 \) сантиметров. Таким образом, после уменьшения размеры двери изменились, и нам нужно учесть эти новые значения при расчёте площади.

Площадь исходной двери равна произведению ширины на высоту, то есть \( x \cdot (2x + 30) = 2x^2 + 30x \). Это выражение показывает площадь в квадратных сантиметрах исходной двери. Площадь уменьшенной двери равна произведению новых размеров \( (x — 5)(2x + 20) \). Раскроем скобки: \( (x — 5)(2x + 20) = 2x^2 + 20x — 10x — 100 = 2x^2 + 10x — 100 \). Площадь обрезков — это разница между площадью исходной двери и площадью уменьшенной двери, и по условию она равна 1900 квадратных сантиметров. Запишем уравнение: \( 2x^2 + 30x — (2x^2 + 10x — 100) = 1900 \).

Раскроем скобки и упростим уравнение: \( 2x^2 + 30x — 2x^2 — 10x + 100 = 1900 \). Сократим одинаковые слагаемые: \( 20x + 100 = 1900 \). Вычтем 100 из обеих частей уравнения, получим \( 20x = 1800 \). Разделим обе части на 20: \( x = \frac{1800}{20} = 90 \) сантиметров — ширина двери. Теперь найдём высоту двери, подставив значение \( x \) в формулу для высоты: \( 2 \cdot 90 + 30 = 180 + 30 = 210 \) сантиметров. Таким образом, исходные размеры двери — ширина 90 см и высота 210 см.