ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 804 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Две автоматические линии расфасовали 460 одинаковых пакетов крупы за 6 ч. Первый час работала одна линия, следующие 2 ч — вторая, а в оставшееся время работали обе линии вместе. Определите производительность каждой линии, если известно, что на первой линии за 1 ч фасуется на 20 пакетов меньше, чем на второй.

1) Вместе линии работали: \(6 — 1 — 2 = 3\) (ч).

2) Пусть на первой линии в час фасуется \(x\) пакетов крупы, тогда на второй линии — \(x + 20\) пакетов крупы.

Составим уравнение:
\(x + 2(x + 20) + 3(x + x + 20) = 460\)

Раскроем скобки и упростим:
\(x + 2x + 40 + 3(2x + 20) = 460\)
\(x + 2x + 40 + 6x + 60 = 460\)
\(9x + 100 = 460\)
\(9x = 460 — 100\)
\(9x = 360\)
\(x = 40\)

Первая линия фасует \(40\) пакетов в час.
Вторая линия фасует \(40 + 20 = 60\) пакетов в час.

Ответ: 40 пакетов и 60 пакетов.

1) Для начала внимательно рассмотрим, как распределено время работы двух линий. Всего линии работали 6 часов. В первый час работала только первая линия, затем в следующие 2 часа — только вторая линия. Значит, оставшееся время, а именно \(6 — 1 — 2 = 3\) часа, обе линии работали одновременно. Этот шаг важен, так как количество фасованных пакетов зависит от того, сколько часов каждая линия работала отдельно и вместе. В итоге мы получили, что первая линия работала 1 час, вторая — 2 часа, и обе вместе — 3 часа. Это разбивка времени поможет нам составить уравнение для решения задачи.

2) Теперь введём переменную для обозначения производительности первой линии. Пусть \(x\) — это количество пакетов крупы, которое первая линия фасует за 1 час. По условию задачи вторая линия фасует на 20 пакетов больше, чем первая, то есть её производительность равна \(x + 20\) пакетов в час. Зная это, можно выразить общее количество пакетов, фасуемых каждой линией за отведённое время. Первая линия, работая 1 час, фасует \(x\) пакетов. Вторая линия, работая 2 часа, фасует \(2(x + 20)\) пакетов. Обе линии вместе, работая 3 часа, фасуют за час сумму их производительностей — это \(x + (x + 20) = 2x + 20\) пакетов, значит за 3 часа они фасуют \(3(2x + 20)\) пакетов.

3) Теперь сложим все фасованные пакеты за весь период работы и приравняем к общему количеству 460 пакетов. Получаем уравнение:
\(x + 2(x + 20) + 3(2x + 20) = 460\).
Раскроем скобки:
\(x + 2x + 40 + 6x + 60 = 460\).
Сложим все члены с \(x\): \(x + 2x + 6x = 9x\), а числа \(40 + 60 = 100\). Получим:
\(9x + 100 = 460\).
Чтобы найти \(x\), вычтем 100 из обеих частей уравнения:
\(9x = 460 — 100\),
\(9x = 360\).
Далее разделим обе части на 9:
\(x = \frac{360}{9} = 40\).

Таким образом, первая линия фасует 40 пакетов в час.

4) Чтобы найти производительность второй линии, прибавим 20 пакетов к \(x\):
\(x + 20 = 40 + 20 = 60\).
Это означает, что вторая линия фасует 60 пакетов крупы в час.

5) Итог: первая линия фасует 40 пакетов в час, вторая — 60 пакетов в час. Это решение согласуется с условием задачи и проверяется суммой фасованных пакетов:
За 1 час первая линия фасует 40 пакетов,
За 2 часа вторая линия фасует \(2 \times 60 = 120\) пакетов,
За 3 часа обе линии вместе фасуют \(3 \times (40 + 60) = 3 \times 100 = 300\) пакетов,
Суммарно \(40 + 120 + 300 = 460\) пакетов, что соответствует условию задачи.