ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 797 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \(x(x — 1) — x(x — 3) = 12\);

б) \((x + 1)(x + 2) — x^2 = 5x + 4\);

в) \((x — 4)^2 = x^2 — 16\);

г) \((x + 1)^2 = x^2 + 1\).

а) Раскрываем скобки: \(x(x-1) — x(x-3) = x^2 — x — x^2 + 3x = 2x\). Приравниваем к 12: \(2x = 12\), значит \(x = 6\).

б) Раскрываем скобки: \((x+1)(x+2) — x^2 = x^2 + 2x + x + 2 — x^2 = 3x + 2\). Приравниваем к \(5x + 4\): \(3x + 2 = 5x + 4\), переносим: \(-2x = 2\), значит \(x = -1\).

в) Раскрываем левую часть: \((x-4)^2 = x^2 — 8x + 16\). Приравниваем к \(x^2 — 16\): \(x^2 — 8x + 16 = x^2 — 16\), сокращаем \(x^2\): \(-8x + 16 = -16\), переносим: \(-8x = -32\), значит \(x = 4\).

г) Раскрываем левую часть: \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\). Приравниваем к \(x^2 + 1\): \(x^2 + 2x + 1 = x^2 + 1\), сокращаем \(x^2 + 1\): \(2x = 0\), значит \(x = 0\).

а) Уравнение \(x(x — 1) — x(x — 3) = 12\) содержит два произведения с переменной \(x\). Сначала раскрываем каждое произведение: \(x(x — 1) = x^2 — x\) и \(x(x — 3) = x^2 — 3x\). Подставляем обратно в уравнение и получаем \(x^2 — x — (x^2 — 3x) = 12\). Обращаем внимание на знак минус перед второй скобкой, который меняет знаки внутри скобок, поэтому выражение становится \(x^2 — x — x^2 + 3x = 12\).

Теперь упрощаем выражение, складывая подобные члены: \(x^2 — x^2 = 0\), а \(-x + 3x = 2x\). Таким образом, уравнение сводится к \(2x = 12\). Чтобы найти \(x\), делим обе части уравнения на 2, получая \(x = \frac{12}{2} = 6\).

Ответ \(x = 6\) означает, что при подстановке этого значения в исходное уравнение левая и правая части будут равны, что подтверждает правильность решения.

б) Для уравнения \((x + 1)(x + 2) — x^2 = 5x + 4\) сначала раскрываем скобки в левой части. Произведение \((x + 1)(x + 2)\) раскрывается по формуле умножения двучлена на двучлен: \(x \cdot x = x^2\), \(x \cdot 2 = 2x\), \(1 \cdot x = x\), \(1 \cdot 2 = 2\). Складываем эти слагаемые, получаем \(x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2\).

Подставляем это в уравнение: \(x^2 + 3x + 2 — x^2 = 5x + 4\). Сокращаем \(x^2\) с обеих сторон, остается \(3x + 2 = 5x + 4\). Переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа в другую: \(3x — 5x = 4 — 2\), то есть \(-2x = 2\).

Делим обе части на \(-2\), получаем \(x = \frac{2}{-2} = -1\). Это и есть решение уравнения.

в) В уравнении \((x — 4)^2 = x^2 — 16\) слева стоит квадрат двучлена, который раскрывается по формуле квадрата разности: \((x — 4)^2 = x^2 — 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 — 8x + 16\).

Подставляем это в уравнение: \(x^2 — 8x + 16 = x^2 — 16\). Вычитаем \(x^2\) с обеих сторон, чтобы упростить уравнение: \(-8x + 16 = -16\). Теперь переносим 16 вправо: \(-8x = -16 — 16 = -32\).

Делим обе части на \(-8\), получаем \(x = \frac{-32}{-8} = 4\). Это решение уравнения.

г) Уравнение \((x + 1)^2 = x^2 + 1\) содержит квадрат двучлена слева. Раскрываем его по формуле квадрата суммы: \((x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1\).

Подставляем в уравнение: \(x^2 + 2x + 1 = x^2 + 1\). Вычитаем \(x^2 + 1\) с обеих сторон, получаем \(2x = 0\).

Делим обе части на 2, находим \(x = 0\). Это единственное решение данного уравнения.