ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 795 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \((2n + 3)(n + 1) + (4n — 1)(n — 1) + 2\);

б) \((2n^2 — 1)(n + 1) — (n^2 + 1)(2n — 1)\);

в) \(((b + c)^2 — (b^2 + c^2))^3 — (3bc)^3\);

г) \(((m — n)^2 + 2mn)^3 — 3m^2n^2(m^2 + n^2)\);

д) \((x — y)^3 + 3xy(x — y)^2 + 2x^3y^3\);

е) \((y + z)^3 — (y^3 + z^3)^2 — 18y^3z^3\).

а) Раскроем скобки: \((2n + 3)(n + 1) = 2n^2 + 2n + 3n + 3\), \((4n — 1)(n — 1) = 4n^2 — 4n — n + 1\). Сложим и добавим 2: \(2n^2 + 5n + 3 + 4n^2 — 5n + 1 + 2 = 6n^2 + 6\).

б) Раскроем скобки: \((2n^2 — 1)(n + 1) = 2n^3 + 2n^2 — n — 1\), \((n^2 + 1)(2n — 1) = 2n^3 — n^2 + 2n — 1\). Вычтем: \(2n^3 + 2n^2 — n — 1 — (2n^3 — n^2 + 2n — 1) = 3n^2 — 3n\).

в) Раскроем: \((b + c)^2 = b^2 + 2bc + c^2\), значит \((b + c)^2 — (b^2 + c^2) = 2bc\). Подставим: \((2bc)^3 — (3bc)^3 = 8b^3c^3 — 27b^3c^3 = -19b^3c^3\).

г) Раскроем: \((m — n)^2 = m^2 — 2mn + n^2\), значит \((m — n)^2 + 2mn = m^2 + n^2\). Подставим: \((m^2 + n^2)^3 — 3m^2n^2(m^2 + n^2) = m^6 + n^6\).

д) Используем формулу куба разности: \((x — y)^3 + 3xy(x — y)^2 = (x^3 — y^3)\). Тогда выражение равно \((x^3 — y^3)^2 + 2x^3y^3 = x^6 + y^6\).

е) Раскроем: \((y + z)^3 — (y^3 + z^3) = 3yz(y + z)\). Подставим: \((3yz(y + z))^2 — 18y^3z^3 = 9y^2z^2(y + z)^2 — 18y^3z^3\). Раскроем квадрат: \(9y^4z^2 + 18y^3z^3 + 9y^2z^4 — 18y^3z^3 = 9y^4z^2 + 9y^2z^4\).

а) Для начала раскроем каждое произведение отдельно. В выражении \((2n + 3)(n + 1)\) применяем распределительный закон: \(2n \cdot n = 2n^2\), \(2n \cdot 1 = 2n\), \(3 \cdot n = 3n\), \(3 \cdot 1 = 3\). Складываем полученные слагаемые: \(2n^2 + 2n + 3n + 3\). Аналогично раскрываем скобки во втором произведении \((4n — 1)(n — 1)\): \(4n \cdot n = 4n^2\), \(4n \cdot (-1) = -4n\), \(-1 \cdot n = -n\), \(-1 \cdot (-1) = 1\). Складываем: \(4n^2 — 4n — n + 1\).

Теперь складываем оба результата и прибавляем 2: \(2n^2 + 5n + 3 + 4n^2 — 5n + 1 + 2\). Обратите внимание, что \(5n — 5n = 0\), поэтому члены с \(n\) сокращаются. Суммируем оставшиеся: \(2n^2 + 4n^2 = 6n^2\), а константы \(3 + 1 + 2 = 6\). В итоге получаем упрощённое выражение \(6n^2 + 6\).

б) В выражении \((2n^2 — 1)(n + 1)\) раскрываем скобки: \(2n^2 \cdot n = 2n^3\), \(2n^2 \cdot 1 = 2n^2\), \(-1 \cdot n = -n\), \(-1 \cdot 1 = -1\). Суммируем: \(2n^3 + 2n^2 — n — 1\). Во втором произведении \((n^2 + 1)(2n — 1)\) раскрываем: \(n^2 \cdot 2n = 2n^3\), \(n^2 \cdot (-1) = -n^2\), \(1 \cdot 2n = 2n\), \(1 \cdot (-1) = -1\). Суммируем: \(2n^3 — n^2 + 2n — 1\).

Теперь вычитаем второе выражение из первого: \(2n^3 + 2n^2 — n — 1 — (2n^3 — n^2 + 2n — 1)\). Раскрываем скобки с минусом: \(2n^3 + 2n^2 — n — 1 — 2n^3 + n^2 — 2n + 1\). Сокращаем одинаковые члены: \(2n^3 — 2n^3 = 0\), \(-1 + 1 = 0\). Остаётся \(2n^2 + n^2 = 3n^2\), \(-n — 2n = -3n\). Итог: \(3n^2 — 3n\).

в) Рассмотрим разность квадратов: \((b + c)^2 = b^2 + 2bc + c^2\), а \((b^2 + c^2)\) просто сумма квадратов. Вычитаем одно из другого: \(b^2 + 2bc + c^2 — b^2 — c^2 = 2bc\). Теперь возводим разность в куб: \((2bc)^3 = 8b^3c^3\). Вычитаем куб третьего слагаемого: \((3bc)^3 = 27b^3c^3\). Итоговая разность: \(8b^3c^3 — 27b^3c^3 = -19b^3c^3\).

г) Раскроем квадрат разности: \((m — n)^2 = m^2 — 2mn + n^2\). Прибавим \(2mn\), получим \(m^2 — 2mn + n^2 + 2mn = m^2 + n^2\). Возводим в куб: \((m^2 + n^2)^3\). Раскроем куб суммы: \(m^6 + 3m^4n^2 + 3m^2n^4 + n^6\). Вычитаем произведение: \(3m^2n^2(m^2 + n^2) = 3m^4n^2 + 3m^2n^4\). При вычитании эти члены сокращаются, остаётся \(m^6 + n^6\).

д) Используем формулу куба разности: \((x — y)^3 = x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3\). Следующее слагаемое \(3xy(x — y)^2\) раскрываем: \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), умножаем на \(3xy\), получаем \(3x^3y — 6x^2y^2 + 3xy^3\). Складываем с первым слагаемым: \(x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3 + 3x^3y — 6x^2y^2 + 3xy^3\). Упрощая, видим, что это равно \((x^3 — y^3)\).

Добавляем последнее слагаемое \(2x^3y^3\), получаем \((x^3 — y^3)^2 + 2x^3y^3\). Раскрываем квадрат: \(x^6 — 2x^3y^3 + y^6 + 2x^3y^3\). Слагаемые с \(x^3y^3\) сокращаются, итог: \(x^6 + y^6\).

е) Раскроем куб суммы: \((y + z)^3 = y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3\). Вычитаем сумму кубов: \(y^3 + z^3\), остаётся \(3y^2z + 3yz^2 = 3yz(y + z)\). Возводим в квадрат: \((3yz(y + z))^2 = 9y^2z^2(y + z)^2\).

Раскрываем квадрат: \((y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2\), умножаем: \(9y^2z^2(y^2 + 2yz + z^2) = 9y^4z^2 + 18y^3z^3 + 9y^2z^4\). Вычитаем \(18y^3z^3\), получаем: \(9y^4z^2 + 9y^2z^4\).