ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 793 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

Пусть даны пять последовательных натуральных чисел: \(n; n + 1; n + 2; n + 3; n + 4\).

Докажем, что сумма их квадратов кратна 5:
\(n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 + (n + 3)^2 + (n + 4)^2 =\)
\(= n^2 + n^2 + 4n + 1 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9 + n^2 + 8n + 16 =\)
\(= 5n^2 + 20n + 30 = 5 \cdot (n^2 + 4n + 6)\).

Так как один из множителей делится на 5, то и вся сумма делится на 5.

Пусть даны пять последовательных натуральных чисел: \(n; n + 1; n + 2; n + 3; n + 4\). Мы хотим доказать, что сумма их квадратов делится на 5, то есть кратна 5. Для этого рассмотрим сумму квадратов этих чисел:
\(n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 + (n + 3)^2 + (n + 4)^2\).

Раскроем скобки и возведем каждое слагаемое в квадрат:
\(n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 6n + 9) + (n^2 + 8n + 16)\).
Теперь сложим все эти выражения:
\(n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9 + n^2 + 8n + 16\).

Сгруппируем подобные члены: суммы квадратов \(n^2\), суммы коэффициентов при \(n\) и константы. Получаем:
\((n^2 + n^2 + n^2 + n^2 + n^2) + (2n + 4n + 6n + 8n) + (1 + 4 + 9 + 16)\),
что равно
\(5n^2 + 20n + 30\).
Вынесем общий множитель 5:
\(5 \cdot (n^2 + 4n + 6)\).
Поскольку выражение в скобках — целое число, вся сумма делится на 5. Таким образом, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел кратна 5.