ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 791 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) \((c + 1)(c — 3) + (c — 1)(c + 3) + 6 = 2c^2\);

б) \((a^2 — 2)(a + 1) — (a^2 + 1)(a — 2) + 3a = 3a^2\);

в) \((y + 1)(y + 2)(y — 3) — y(y^2 — 7) + 6 = 0\);

г) \(b(b — 1)(b + 2) + b(b + 1)(b — 2) — 2b(b^2 — 2) = 0\).

а) Раскрываем скобки: \((c + 1)(c — 3) = c^2 — 2c — 3\), \((c — 1)(c + 3) = c^2 + 2c — 3\). Складываем: \(c^2 — 2c — 3 + c^2 + 2c — 3 + 6 = 2c^2\).

б) Раскрываем скобки: \((a^2 — 2)(a + 1) = a^3 + a^2 — 2a — 2\), \((a^2 + 1)(a — 2) = a^3 — 2a^2 + a — 2\). Подставляем и упрощаем: \(a^3 + a^2 — 2a — 2 — a^3 + 2a^2 — a + 2 + 3a = 3a^2\).

в) Раскрываем: \((y + 1)(y + 2) = y^2 + 3y + 2\), умножаем на \((y — 3)\): \(y^3 — 7y — 6\). Подставляем: \(y^3 — 7y — 6 — y^3 + 7y + 6 = 0\).

г) Раскрываем: \(b(b — 1)(b + 2) = b^3 + b^2 — 2b\), \(b(b + 1)(b — 2) = b^3 — b^2 — 2b\), \(-2b(b^2 — 2) = -2b^3 + 4b\). Складываем: \(b^3 + b^2 — 2b + b^3 — b^2 — 2b — 2b^3 + 4b = 0\).

а) Начинаем с раскрытия произведений в выражении \((c + 1)(c — 3) + (c — 1)(c + 3) + 6\). Раскрывая первую скобку, умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй: \(c \cdot c = c^2\), \(c \cdot (-3) = -3c\), \(1 \cdot c = c\), \(1 \cdot (-3) = -3\). В итоге получаем \(c^2 — 3c + c — 3\), что упрощается до \(c^2 — 2c — 3\).

Аналогично раскрываем вторую скобку: \(c \cdot c = c^2\), \(c \cdot 3 = 3c\), \((-1) \cdot c = -c\), \((-1) \cdot 3 = -3\). Складывая, получаем \(c^2 + 3c — c — 3\), что упрощается до \(c^2 + 2c — 3\). Теперь складываем оба результата и добавляем 6: \(c^2 — 2c — 3 + c^2 + 2c — 3 + 6\).

В сумме \(c^2 + c^2 = 2c^2\), \(-2c + 2c = 0\), \(-3 — 3 + 6 = 0\). Получаем итоговое выражение \(2c^2\), что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим выражение \((a^2 — 2)(a + 1) — (a^2 + 1)(a — 2) + 3a\). Раскрываем первую часть: \(a^2 \cdot a = a^3\), \(a^2 \cdot 1 = a^2\), \(-2 \cdot a = -2a\), \(-2 \cdot 1 = -2\). В итоге получаем \(a^3 + a^2 — 2a — 2\).

Во второй части раскрываем скобки: \(a^2 \cdot a = a^3\), \(a^2 \cdot (-2) = -2a^2\), \(1 \cdot a = a\), \(1 \cdot (-2) = -2\). Получаем \(a^3 — 2a^2 + a — 2\). Вычитаем вторую часть из первой и добавляем \(3a\): \(a^3 + a^2 — 2a — 2 — (a^3 — 2a^2 + a — 2) + 3a\).

Раскрываем минус: \(a^3 + a^2 — 2a — 2 — a^3 + 2a^2 — a + 2 + 3a\). Складываем подобные члены: \(a^3 — a^3 = 0\), \(a^2 + 2a^2 = 3a^2\), \(-2a — a + 3a = 0\), \(-2 + 2 = 0\). Итог: \(3a^2\), что и требовалось.

в) Выражение \((y + 1)(y + 2)(y — 3) — y(y^2 — 7) + 6\) раскроем поэтапно. Сначала умножаем первые две скобки: \(y \cdot y = y^2\), \(y \cdot 2 = 2y\), \(1 \cdot y = y\), \(1 \cdot 2 = 2\). Получаем \(y^2 + 3y + 2\).

Далее умножаем результат на \((y — 3)\): \(y^2 \cdot y = y^3\), \(y^2 \cdot (-3) = -3y^2\), \(3y \cdot y = 3y^2\), \(3y \cdot (-3) = -9y\), \(2 \cdot y = 2y\), \(2 \cdot (-3) = -6\). Складываем: \(y^3 — 3y^2 + 3y^2 — 9y + 2y — 6\), что упрощается до \(y^3 — 7y — 6\).

Подставляем обратно: \(y^3 — 7y — 6 — y^3 + 7y + 6\). Суммируем: \(y^3 — y^3 = 0\), \(-7y + 7y = 0\), \(-6 + 6 = 0\). Итог: \(0\), что и требовалось.

г) В выражении \(b(b — 1)(b + 2) + b(b + 1)(b — 2) — 2b(b^2 — 2)\) раскрываем каждое произведение. Для первого: \((b — 1)(b + 2) = b^2 + 2b — b — 2 = b^2 + b — 2\), умножаем на \(b\): \(b^3 + b^2 — 2b\).

Для второго: \((b + 1)(b — 2) = b^2 — 2b + b — 2 = b^2 — b — 2\), умножаем на \(b\): \(b^3 — b^2 — 2b\).

Последнее выражение: \(-2b(b^2 — 2) = -2b^3 + 4b\).

Складываем: \(b^3 + b^2 — 2b + b^3 — b^2 — 2b — 2b^3 + 4b\). Суммируем подобные: \(b^3 + b^3 — 2b^3 = 0\), \(b^2 — b^2 = 0\), \(-2b — 2b + 4b = 0\). Итог: \(0\), что и требовалось доказать.