ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 790 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите все натуральные числа, которые:

а) при делении на 5 дают в остатке 4, а при делении на 2 дают в остатке 1;

б) при делении на 5 дают в остатке 3 и делятся на 2.

а) Рассмотрим числа вида \(10n + r\). При делении на 5 остаток 4 дают числа \(10n + 4\) и \(10n + 9\). Проверим остаток при делении на 2: \(10n + 4 = 2(5n + 2)\) — остаток 0, не подходит; \(10n + 9 = 2(5n + 4) + 1\) — остаток 1, подходит. Ответ: \(10n + 9\).

б) Рассмотрим числа вида \(10n + r\). При делении на 5 остаток 3 дают числа \(10n + 3\) и \(10n + 8\). Проверим делимость на 2: \(10n + 3 = 2(5n + 1) + 1\) — остаток 1, не подходит; \(10n + 8 = 2(5n + 4)\) — делится на 2. Ответ: \(10n + 8\).

а) Рассмотрим множество чисел вида \(10n + r\), где \(n\) — натуральное число, а \(r\) — остаток при делении на 10. Нам известно, что при делении на 5 эти числа дают остаток 4. Остаток при делении на 5 зависит только от последней цифры числа, поэтому такие числа могут иметь вид либо \(10n + 4\), либо \(10n + 9\), так как \(4 \equiv 4 \pmod{5}\) и \(9 \equiv 4 \pmod{5}\). Следующий шаг — выбрать из них те, которые при делении на 2 дают остаток 1. Для этого проверим делимость каждого варианта на 2.

Рассмотрим число \(10n + 4\). Его можно представить как \(2(5n + 2)\), что означает, что оно делится на 2 без остатка, и остаток равен 0. Значит, это число не подходит, так как нам нужен остаток 1 при делении на 2. Теперь рассмотрим число \(10n + 9\). Его можно переписать как \(10n + 8 + 1 = 2(5n + 4) + 1\), то есть при делении на 2 оно даёт остаток 1. Это соответствует условию задачи, следовательно, подходящими числами являются числа вида \(10n + 9\).

Таким образом, ответ для пункта а) — все числа вида \(10n + 9\), где \(n\) — натуральное число.

б) Аналогично рассмотрим числа вида \(10n + r\), но теперь с условием, что при делении на 5 они дают остаток 3. Это возможно, если последние цифры числа равны 3 или 8, так как \(3 \equiv 3 \pmod{5}\) и \(8 \equiv 3 \pmod{5}\). Значит, такие числа имеют вид \(10n + 3\) или \(10n + 8\). Следующая задача — выбрать из них те, которые делятся на 2 без остатка, то есть дают остаток 0 при делении на 2.

Проверим число \(10n + 3\). Его можно переписать как \(10n + 2 + 1 = 2(5n + 1) + 1\), что означает остаток 1 при делении на 2. Значит, это число не подходит для условия делимости на 2. Теперь рассмотрим число \(10n + 8\). Его можно записать как \(2(5n + 4)\), что означает, что оно делится на 2 без остатка. Следовательно, подходящими числами являются те, которые имеют вид \(10n + 8\).

Ответ для пункта б) — все числа вида \(10n + 8\), где \(n\) — натуральное число.