ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 789 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Докажите, что если число не делится на 5, то на 5 делится его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1.

б) Докажите, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

а) Число, не делящееся на 5, можно представить как \(5k + 1\), \(5k + 2\), \(5k + 3\), \(5k + 4\).

Для каждого случая:
\((5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1\), значит, квадрат числа уменьшенный на 1 делится на 5.

\((5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4\), значит, квадрат числа увеличенный на 1 делится на 5.

\((5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k) + 9\), значит, квадрат числа увеличенный на 1 делится на 5.

\((5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k) + 16\), значит, квадрат числа уменьшенный на 1 делится на 5.

б) Пусть нечётное число \(2n + 1\). Тогда:
\((2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1\).

Произведение \(n(n + 1)\) делится на 2, значит \(4n(n + 1)\) делится на 8.

Следовательно, квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт остаток 1.

а) Пусть число не делится на 5, тогда оно может быть записано в виде \(5k + 1\), \(5k + 2\), \(5k + 3\) или \(5k + 4\), где \(k\) — целое число. Это значит, что при делении на 5 число даёт остаток 1, 2, 3 или 4 соответственно. Рассмотрим квадрат каждого из этих чисел и выясним, как он соотносится с делимостью на 5.

Для числа вида \(5k + 1\) квадрат равен \((5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1\). Здесь \(25k^2 + 10k\) делится на 5, потому что оба слагаемых содержат множитель 5. Следовательно, \((5k + 1)^2\) можно представить как \(5(5k^2 + 2k) + 1\). Это означает, что квадрат числа \(5k + 1\) при делении на 5 даёт остаток 1, или, другими словами, квадрат этого числа уменьшенный на 1 делится на 5.

Аналогично для числа \(5k + 2\) имеем \((5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4\). Здесь остаток при делении на 5 равен 4, то есть квадрат числа увеличенный на 1 делится на 5, так как \(4 + 1 = 5\). Для \(5k + 3\) квадрат равен \((5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k) + 9\). Поскольку 9 при делении на 5 даёт остаток 4, то и здесь квадрат числа увеличенный на 1 делится на 5.

Для числа \(5k + 4\) квадрат равен \((5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k) + 16\). Остаток 16 при делении на 5 равен 1, значит квадрат числа уменьшенный на 1 делится на 5. Таким образом, во всех случаях квадрат числа, не делящегося на 5, либо на 1 больше, либо на 1 меньше числа, кратного 5. Это доказывает утверждение.

б) Рассмотрим нечётное число, которое можно записать в виде \(2n + 1\), где \(n\) — целое число. Чтобы найти остаток от деления квадрата этого числа на 8, вычислим \((2n + 1)^2\). Раскроем скобки: \((2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1\).

Произведение \(n(n + 1)\) всегда чётное, так как одно из двух последовательных чисел обязательно чётное. Это значит, что \(n(n + 1)\) делится на 2, а тогда \(4n(n + 1)\) делится на 8, поскольку \(4 \times 2 = 8\). Следовательно, выражение \(4n(n + 1) + 1\) при делении на 8 даёт остаток 1.

Таким образом, квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт остаток 1. Это свойство связано с тем, что произведение двух последовательных чисел всегда чётно, что обеспечивает делимость части выражения на 8, а добавленная единица и даёт остаток 1.