ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 787 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если числа \(a\) и \(b\) не делятся на 3, то либо их сумма, либо их разность делится на 3.

Известно, что \(a\) и \(b\) не делятся на 3, тогда:

1) \(a = 3x + 1; \quad b = 3y + 1;\)
\(a + b = 3x + 1 + 3y + 1 = 3x + 3y + 2 = 3(x + y) + 2\) — не делится на 3.
\(a — b = 3x + 1 — 3y — 1 = 3x — 3y = 3(x — y)\) — делится на 3.

2) \(a = 3x + 1; \quad b = 3y + 2;\)
\(a + b = 3x + 1 + 3y + 2 = 3x + 3y + 3 = 3(x + y + 1)\) — делится на 3.
\(a — b = 3x + 1 — 3y — 2 = 3x — 3y — 1 = 3(x — y) — 1\) — не делится на 3.

3) \(a = 3x + 2; \quad b = 3y + 1;\)
\(a + b = 3x + 2 + 3y + 1 = 3x + 3y + 3 = 3(x + y + 1)\) — делится на 3.
\(a — b = 3x + 2 — 3y — 1 = 3x — 3y + 1 = 3(x — y) + 1\) — не делится на 3.

4) \(a = 3x + 2; \quad b = 3y + 2;\)
\(a + b = 3x + 2 + 3y + 2 = 3x + 3y + 4 = 3(x + y + 1) + 1\) — не делится на 3.
\(a — b = 3x + 2 — 3y — 2 = 3x — 3y = 3(x — y)\) — делится на 3.

Следовательно, если числа не делятся на 3, то их сумма или разность делится на 3.

Известно, что числа \(a\) и \(b\) не делятся на 3, то есть при делении на 3 они дают остаток либо 1, либо 2. Это можно записать в общем виде как \(a = 3x + r_a\) и \(b = 3y + r_b\), где \(x\) и \(y\) — целые числа, а \(r_a, r_b \in \{1, 2\}\). Остатки 0 исключены, так как числа не делятся на 3. Для доказательства утверждения рассмотрим все возможные варианты значений остатков \(r_a\) и \(r_b\) и вычислим сумму и разность чисел \(a\) и \(b\), чтобы понять, делятся ли они на 3.

Первый случай: когда \(a = 3x + 1\) и \(b = 3y + 1\). Сумма этих чисел равна \(a + b = 3x + 1 + 3y + 1 = 3(x + y) + 2\). Здесь видно, что сумма при делении на 3 даёт остаток 2, следовательно, сумма не делится на 3. Теперь рассмотрим разность: \(a — b = 3x + 1 — (3y + 1) = 3x — 3y = 3(x — y)\). Это выражение делится на 3 без остатка, так как множитель 3 вынесен за скобки. Значит, в этом случае разность делится на 3, а сумма — нет.

Второй случай: \(a = 3x + 1\), \(b = 3y + 2\). Сумма равна \(a + b = 3x + 1 + 3y + 2 = 3(x + y + 1)\), что делится на 3 без остатка, поскольку сумма выражена как 3, умноженное на целое число \(x + y + 1\). Разность равна \(a — b = 3x + 1 — (3y + 2) = 3x — 3y — 1 = 3(x — y) — 1\). Здесь остаток при делении на 3 равен 2, значит разность не делится на 3. Таким образом, во втором случае сумма делится на 3, а разность — нет.

Третий случай: \(a = 3x + 2\), \(b = 3y + 1\). Сумма равна \(a + b = 3x + 2 + 3y + 1 = 3(x + y + 1)\), что делится на 3, так как выражение содержит множитель 3. Разность равна \(a — b = 3x + 2 — (3y + 1) = 3x — 3y + 1 = 3(x — y) + 1\), что даёт остаток 1 при делении на 3, значит разность не делится на 3. В этом случае сумма делится на 3, а разность — нет.

Четвёртый случай: \(a = 3x + 2\), \(b = 3y + 2\). Сумма равна \(a + b = 3x + 2 + 3y + 2 = 3(x + y + 1) + 1\), что даёт остаток 1 при делении на 3, значит сумма не делится на 3. Разность равна \(a — b = 3x + 2 — (3y + 2) = 3x — 3y = 3(x — y)\), которая делится на 3 без остатка. Следовательно, в этом случае разность делится на 3, а сумма — нет.

Анализируя все четыре возможных случая, мы видим, что когда числа \(a\) и \(b\) не делятся на 3, то либо их сумма, либо их разность обязательно делится на 3. Это происходит потому, что при сложении или вычитании остатков 1 и 2 по модулю 3 результат всегда даёт либо 0 (делится на 3), либо 1 или 2 (не делится на 3), и именно в одном из выражений сумма или разность остаток равен 0. Следовательно, утверждение доказано.