ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 786 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Каждое из чисел \(a\) и \(b\) при делении на 3 даёт в остатке 1. Докажите, что их произведение при делении на 3 также даёт в остатке 1.

\(a = 3x + 1; \quad b = 3y + 1;\)

\(a \cdot b = (3x + 1)(3y + 1) = 9xy + 3x + 3y + 1 = 3(3xy + x + y) + 1\)

Остаток от деления произведения на 3 равен 1.

Пусть \(a = 3x + 1\) и \(b = 3y + 1\), где \(x\) и \(y\) — целые числа. Это означает, что при делении числа \(a\) на 3 получается остаток 1, и при делении числа \(b\) на 3 также получается остаток 1. Нужно показать, что произведение \(a \cdot b\) при делении на 3 даёт в остатке 1.

Выполним умножение выражений для \(a\) и \(b\): \(a \cdot b = (3x + 1)(3y + 1)\). Раскроем скобки по формуле умножения двух двучленов: \(a \cdot b = 3x \cdot 3y + 3x \cdot 1 + 1 \cdot 3y + 1 \cdot 1 = 9xy + 3x + 3y + 1\). Теперь выделим общий множитель 3 в первых трёх слагаемых: \(a \cdot b = 3(3xy + x + y) + 1\).

Поскольку \(3xy + x + y\) — целое число, то выражение \(3(3xy + x + y)\) делится на 3 без остатка. Следовательно, при делении произведения \(a \cdot b\) на 3 остаётся только остаток от слагаемого 1. Таким образом, остаток от деления произведения \(a \cdot b\) на 3 равен 1. Это доказывает, что если два числа дают при делении на 3 остаток 1, то и их произведение также даёт остаток 1.