ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 785 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если числа \(a\) и \(b\) при делении на число \(c\) дают один и тот же остаток, то их разность делится на \(c\).

\(a = cz + r; \quad b = cx + r;\)

\(a — b = cz + r — (cx + r) = cz + r — cx — r = cz — cx = c(z — x)\) — дает в остатке нуль, значит, делится на \(c\).

Пусть есть два числа \(a\) и \(b\), которые при делении на число \(c\) дают одинаковый остаток. Это означает, что при делении \(a\) на \(c\) можно записать \(a = cz + r\), где \(z\) — целое число, а \(r\) — остаток от деления. Аналогично для числа \(b\) имеем \(b = cx + r\), где \(x\) — тоже целое число, а остаток тот же самый \(r\).

Теперь рассмотрим разность этих чисел: \(a — b\). Подставим выражения для \(a\) и \(b\):

\(a — b = cz + r — (cx + r) = cz + r — cx — r\).

В этой записи остатки \(r\) сокращаются, так как они равны, и остается

\(a — b = cz — cx = c(z — x)\).

Поскольку \(z\) и \(x\) — целые числа, то разность \(z — x\) тоже целое число. Значит, разность \(a — b\) равна произведению числа \(c\) на целое число \(z — x\). Это по определению означает, что \(a — b\) делится на \(c\) без остатка.

Таким образом, если два числа дают одинаковый остаток при делении на \(c\), то их разность обязательно делится на \(c\). Это свойство позволяет легко проверять равенство остатков и использовать его в различных задачах теории чисел и делимости.