ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 784 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Числа \(a\) и \(b\) при делении на 7 дают в остатке соответственно 3 и 4. Докажите, что \(a + b\) делится на 7.

б) Числа \(a\) и \(b\) при делении на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3. Докажите, что их сумма есть число чётное.

а) \(a = 7x + 3\), \(b = 7y + 4\).
\(a + b = 7x + 3 + 7y + 4 = 7x + 7y + 7 = 7(x + y + 1)\), значит, \(a + b\) делится на 7.

б) \(a = 6x + 1\), \(b = 6y + 3\).
\(a + b = 6x + 1 + 6y + 3 = 6x + 6y + 4 = 2(3x + 3y + 2)\), значит, сумма чётная.

а) Пусть \(a = 7x + 3\) и \(b = 7y + 4\), где \(x\) и \(y\) — целые числа. Это означает, что при делении числа \(a\) на 7 получается остаток 3, а при делении числа \(b\) на 7 — остаток 4. Чтобы проверить, делится ли сумма \(a + b\) на 7, нужно сложить выражения для \(a\) и \(b\).

Складываем: \(a + b = (7x + 3) + (7y + 4) = 7x + 7y + 7\). Здесь видно, что сумма состоит из слагаемых, каждое из которых делится на 7, так как \(7x\), \(7y\) и 7 — все кратны 7. Это можно переписать как \(7(x + y + 1)\), где \(x + y + 1\) — целое число, так как сумма и сложение целых чисел даёт целое число.

Следовательно, сумма \(a + b\) равна произведению 7 на некоторое целое число, что означает, что \(a + b\) делится на 7 без остатка.

б) Пусть теперь \(a = 6x + 1\) и \(b = 6y + 3\), где \(x\) и \(y\) — целые числа. Это значит, что при делении числа \(a\) на 6 получается остаток 1, а при делении числа \(b\) на 6 — остаток 3. Нужно доказать, что сумма \(a + b\) — чётное число, то есть делится на 2.

Сложим: \(a + b = (6x + 1) + (6y + 3) = 6x + 6y + 4\). Здесь можно вынести общий множитель 2: \(6x + 6y + 4 = 2(3x + 3y + 2)\). Поскольку \(3x + 3y + 2\) — целое число (сумма и умножение целых чисел), то вся сумма делится на 2.

Отсюда следует, что сумма \(a + b\) является чётным числом, так как делится на 2 без остатка.